|
|
Ta có:
Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:
$(d):\left\{ \begin{array}{l} x=t\\ y=3-t \end{array} \right. ,t\in R $
Khi đó mọi điểm $M\in (d) $ luôn có $M(t,3-t)$.
Đường thẳng $(\Delta)$ đi qua M có phương trình:
$(\Delta):A(x-t)+B(y-3+t)=0$
$\Leftrightarrow (\Delta):Ax+By-At+B(t-3)=0,$ với $A^2+B^2>0$
Đường thẳng $(\Delta)$ là tiếp tuyến của (E)
$3A^2+2B^2=[-At+B(t-3)]^2$
$\Leftrightarrow (t^2-3).A^2-2t(t-3).AB+(t^2-6t+7).B^2=0 (1)$
Nhận xét rằng với $A=0\Rightarrow B=0$ (loại), do đó chia cả hai vế của phương trình (1) cho $A^2\neq 0$, ta được:
$t^2-3-2t(t-3).\frac{B}{A}+(t^2-6t+7).(\frac{B}{A})^2=0 (2)$
Đặt $k=\frac{B}{A}$, thì (2) được biến đổi về dạng:
$(t^2-6t+7).k^2-2t(t-3).k+t^2-3=0 (3)$
Qua M kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (E)
$\Leftrightarrow (1) $ có hai cặp nghiệm $(A_1,B_1), (A_2, B_2)$ thỏa mãn $A_1.A_2+B_1.B_2=0$
$\Leftrightarrow (1) $ có hai cặp nghiệm $(A_1,B_1), (A_2, B_2)$ thỏa mãn $\frac{B_1}{A_1}.\frac{B_2}{A_2}=-1 (A\neq0)$
$\Leftrightarrow (3)$ có hai nghiệm $k_1,k_2$ thỏa mãn $k_1.k_2=-1$
$\Leftrightarrow \frac{t^2-3}{t^2-6t+7}=-1\Leftrightarrow t^2-3t+2=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} t=1\\ t=2 \end{matrix}} \right.\Rightarrow M_1(1,2); M_2(2,1)$
Vậy tồn tại hai điểm $M_1(1,2); M_2(2,1)$ thuộc (d) thỏa mãn điều kiện.
|