Bài 112429

Question

Cho hàm số

$y = \sqrt{\frac{1-x}{x} }, x \in (0;1)$
a) Tính diện tích hình phẳng

$M$ giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho , trục hoành và đường thẳng

$x = \frac{1}{2}$
b) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay

$M$ xung quanh trục hoành.
c) Chứng minh rằng

$x = \frac{1}{1+y^2}$ và từ câu a) suy ra giá trị của tích phân

$\int\limits_{0}^{1}\frac{dy}{1+y^2}.$

score 0 · Answer 1

a) Diện tích hình phẳng cần tìm :

$S = \int\limits_{\frac{1}{2} }^{1} \sqrt{\frac{1-x}{x} }dx$

Đặt

$x = \sin ^2 t \left ( t \in \left ( 0;\frac{\pi}{2} \right ] \right )$
Khi đó :

$dx = 2 \sin t \cos tdt$
Đổi cận :

Từ đây ta có :

$S = \int\limits_{\frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{2} } \frac{\cos t}{\sin t} . 2 \sin t \cos tdt = 2 \int\limits_{\frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{2} } \cos ^2 tdt = \int\limits_{\frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{2} } ( 1 + \cos 2t)dt$

$= \left ( t + \frac{\sin 2t}{2} \right )\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ \frac{\pi}{4} \end{array} \right. = \frac{\pi}{2} - \left ( \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \right ) = \frac{\pi}{4} -\frac{1}{2}$ ( đvdt).
b) Thể tích cần tìm :

$V = \pi \int\limits_{\frac{1}{2} }^{1}\frac{1-x}{x}dx = \pi \int\limits_{\frac{1}{2} }^{1}\left ( \frac{1}{x}-1 \right )dx = \pi (\ln x-x)\left| \begin{array}{l} 1\\ \frac{1}{2} \end{array} \right. = \pi \left ( \ln 2 - \frac{1}{2} \right )$ (đvdt)
c) Ta có :