Bài 112647

Question

Với các chữ số

$1,2,3,4,5,6,7$ xét tập hợp

$E$ gồm 7 chữ số khác nhau viết từ các số đã cho. Chứng minh rằng tổng

$S$ tất cả các số của tập

$E$ là chia hết cho 9.

score 0 · Answer 1

Đặt

$E =$ {

$1,2,3,4,5,6,7$ }.
Từ tập

$E$ có thể lập được :

$7! = 5040$ số gồm 7 chữ số khác nhau.
Xét nếu số

$1$ xuất hiện ở hàng đơn vị thì có

$A^6_6$ cách chọn các chữ số còn lại từ

$E$ để lập được một số có 7 chữ số. Do đó các số

$1,2,3,4,5,6,7$ xuất hiện ở các hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn 720 lần, từ đó :

$S = 10^6.720.(1+2+3+4+5+6+7)+...+10^0.720.(1+2+3+4+5+6+7)$

$= 720.28.(10^6+.....+10^0)$ chia hết cho

$9$
Suy ra

$S$ chia hết cho

$9$ (đpcm)

1 Đáp án