CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN - PHẦN I

GIỚI THIỆU
Không giống như các phương trình nghiệm thực hay nghiệm phức, phương trình nghiệm nguyên khó giải quyết hơn vì điều kiện ràng buộc nguyên của nhiệm. Vì vậy với phương trình nghiệm nguyên, ta thường không có một phương pháp hoặc định hướng giải cụ thể nào như với phương trình nghiệm thực và nghiệm phức. Tuy nhiên, ta có thể áp dụng một số phương pháp hiệu quả để giải quyết lớp phương trình này. Trong chuyên đề này ta sẽ nêu ra một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên. Tùy vào từng bài toán mà ta có những dấu hiệu nhận biết để chọn phương pháp thích hợp.

Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên (từ đơn giản đến phức tạp):
1.    Xét số dư của từng vế
2.    Đưa về dạng tổng
3.    Dùng bất đẳng thức
4.    Dùng tính chia hết, tính đồng dư
5.    Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn
6.    Xét chữ số tận cùng
7.    Dùng tính chất của số chính phương
8.    Tìm  nghiệm riêng
9.    Hạ bậc

PHƯƠNG PHÁP 1: XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ
Ví dụ 1:
Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:
a) ${x^2} - {y^2} = 1998$
b) ${x^2} + {y^2} = 1999$
Giải:
a) Dễ chứng minh ${x^2},{y^2}$ chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên ${x^2} - {y^2}$ chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
b) ${x^2},{y^2}$ chia cho 4 có số dư 0, 1 nên ${x^2} + {y^2}$ chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

Ví dụ 2:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
$9x + 2 = {y^2} + y$
Giải:
Biến đổi phương trình: $9x + 2 = y(y + 1)$
Ta thấy  vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên $y(y + 1)$ chia cho 3 dư 2.
Chỉ có thể: $y = 3k + 1$, $y + 1 = 3k + 2$ với k nguyên
Khi đó: $9x + 2 = (3k + 1)(3k + 2)$
            $ \Leftrightarrow 9x = 9k(k + 1)$
            $ \Leftrightarrow x = k(k + 1)$
Thử lại, $x = k(k + 1)$, $y = 3k + 1$ thỏa mãn phương trình đã cho.
Đáp số $\left\{ \begin{array}
  x = k(k + 1)  \\
  y = 3k + 1  \\
\end{array}  \right.$ với $k$ là số nguyên tùy ý

PHƯƠNG PHÁP 2. ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG
Phương pháp:
Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương.

Ví dụ 3:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
                      ${x^2} + {y^2} - x - y = 8$              (1)
Giải:
 (1)$ \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} - 4x - 4y = 32$
     $\begin{array}
   \Leftrightarrow (4{x^2} + 4x + 1) + (4{y^2} - 4y + 1) = 34  \\
   \Leftrightarrow |2x - 1{|^2} + |2y - 1{|^2} = {3^2} + {5^2}  \\
\end{array} $
Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có duy nhất một dạng phân tích thành tồng của hai số chính phương ${3^2},{5^2}$. Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng:
                    $\left\{ \begin{array}
  |2x - 1| = 3  \\
  |2y - 1| = 5  \\
\end{array}  \right.$  hoặc  $\left\{ \begin{array}
  |2x - 1| = 5  \\
  |2y - 1| = 3  \\
\end{array}  \right.$
Giải các hệ trên $ \Rightarrow $phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là: (2 ; 3), (3 ; 2), ($ - $1 ; $ - $2), ($ - $2 ; $ - $1)

PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp:
Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức …

1. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn
Ví dụ 4:
Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Giải:
Cách 1: Gọi các số nguyên dương phải tìm là $x, y, z$. Ta có:
                       $x + y + z = x.y.z$     (1)
Chú ý rằng các ẩn $x, y, z$ có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn, chẳng hạn: $1 \leqslant x \leqslant y \leqslant z$
Do đó: $xyz = x + y + z \leqslant 3z$
Chia hai vế của bất đảng thức $xyz \leqslant 3z$ cho số dương z ta được: $xy \leqslant 3$
Do đó $xy \in \{ 1;2;3\} $
Với $xy = 1$, ta có $x = 1, y = 1$. Thay vào (1) được $2 + z = z$ (loại)
Với $xy = 2$, ta có $x = 1, y = 2$.  Thay vào (1) được $z = 3$
Với $xy = 3$, ta có $x = 1, y = 3$.  Thay vào (1) được $z = 2$ loại vì $y \leqslant z$
Vậy ba số phải tìm là 1; 2; 3.
Cách 2: Chia hai vế của (1) cho $xyz \ne 0$ được:
                     $\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}} = 1$
Giả sử $x \geqslant y \geqslant z \geqslant 1$ ta có
$1 = \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}} \leqslant \frac{1}{{{z^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \frac{3}{{{z^2}}}$
Suy ra $1 \leqslant \frac{3}{{{z^2}}}$ do đó ${z^2} \leqslant 3$ nên z = 1. Thay z = 1 vào (1):
         $x + y + 1 = xy$
      $ \Leftrightarrow xy - x - y = 1$
      $ \Leftrightarrow x(y - 1) - (y - 1) = 2$
      $ \Leftrightarrow (x - 1)(y - 1) = 2$
Ta có $x - 1 \geqslant y - 1 \geqslant 0$ nên $(x-1,y-1)=(2,1)$
Suy ra $(x,y)=(3,2)$
Ba số phải tìm là 1; 2; 3

Ví dụ 5:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau :
                $5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt .$
Giải:
Vì vai trò của $x, y, z, t$ như nhau nên có thể giả thiết
                  x ≥ y ≥ z ≥ t.
Khi đó : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10
     $ \Rightarrow yzt \leqslant 15 \Rightarrow {t^3} \leqslant 15 \Rightarrow t \leqslant 2$
Với t = 1 ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15
     $ \Rightarrow 2yz \leqslant 30 \Rightarrow 2{z^2} \leqslant 30 \Rightarrow z \leqslant 3$
Nếu z = 1 thì 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay
     (2x – 5)(2y – 5) = 65 .
Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm là
      (x = 35; y = 3) và (x = 9; y = 5).
Giải tương tự cho các trường còn lại và trường hợp $t = 2$.
Cuối cùng ta tìm được nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là $(x; y; z; t) = (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1)$ và các hoán vị của các bộ số này.

2. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn
Ví dụ 6:
Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:
                $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$
Giải:
Do vai trò bình đẳng của $x$ và $y$, giả sử $x \geqslant y$. Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ hơn (là $y$).
Hiển nhiên ta có $\frac{1}{y} < \frac{1}{3}$ nên $y > 3$                (1)
Mặt khác do $x \geqslant y \geqslant 1$ nên $\frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{y}$. Do đó:
$\frac{1}{3} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leqslant \frac{1}{y} + \frac{1}{y} = \frac{2}{y}$ nên $y \leqslant 6$     (2)
Ta xác định được khoảng giá tri của y là $4 \leqslant y \leqslant 6$
Với $y = 4$ ta được: $\frac{1}{x} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{{12}}$ nên $x = 12$
Với $y = 5$ ta được: $\frac{1}{x} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{{15}}$ loại vì $x$ không là số nguyên
Với $y = 6$ ta được: $\frac{1}{x} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ nên $x = 6$
Các nghiệm của phương trình là: (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6)

3. Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên
Ví dụ 7:
Tìm các số tự nhiên $x$ sao cho:
           ${2^x} + {3^x} = {5^x}$
Giải:
Viết phương trình dưới dạng:
${\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} = 1$          (1)
Với $x = 0$ thì vế trái của (1) bằng 2, loại.
Với$ x = 1$ thì vế trái của (1) bằng 1, đúng
Với $x \geqslant 2$ thì ${\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} < \frac{2}{5},{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} < \frac{3}{5}$ nên:
                    ${\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} < \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1$ loại
Nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1

4. Sử dụng diều kiện $\Delta \geqslant 0$ để phương trình bậc hai có nghiệm
Ví dụ 8:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
             $x + y + xy = {x^2} + {y^2}$          (1)
Giải:
Viết (1) thành phương trình bậc hai đối với $x$:
 ${x^2} - (y + 1)x + ({y^2} - y) = 0$           (2)
Điều kiện cần để (2) có nghiệm là $\Delta \geqslant 0$
$\vartriangle  = {(y + 1)^2} - 4({y^2} - y) =  - 3{y^2} + 6y + 1 \geqslant 0$
                   $ \Leftrightarrow 3{y^2} - 6y - 1 \leqslant 0$
                   $ \Leftrightarrow 3{(y - 1)^2} \leqslant 4$
Do đó $ \Leftrightarrow {(y - 1)^2} \leqslant 1$ suy ra: $y\in \{0,1,2\}$  
Với $y = 0$ thay vào (2) được ${x^2} - x = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0;{x_2} = 1$
Với $y = 1$ thay vào (2) được ${x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow {x_3} = 0;{x_4} = 2$
Với $y = 2$ thay vào (2) được ${x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow {x_5} = 1;{x_6} = 2$
Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúng với phương trình (1)
Đáp số: (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2)

Bài tập rèn luyện:
Bài 1:
Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên $(x, y)$ thỏa mãn :
                  $y(x – 1) = x^2 + 2.$
Hướng dẫn:
Ta có $y(x – 1) = x^2 + 2$$ \Rightarrow y = \frac{{{x^2} + 2}}{{x - 1}} = x + 1 + \frac{3}{{x - 1}}$
Vì $x, y$ nguyên nên $x – 1$ là ước của 3
Vậy$ (x, y) = (4, 6) ; (2, 6) ; (-2, -2 ) ; (0, -2)$

Bài 2:
Tìm $x, y$ $ \in \mathbb{Z}$ thỏa mãn :
                  $2x^2 – 2xy = 5x – y – 19$ .
Hướng dẫn:
$(x, y) = (0, -19) ; (1, 16) ; (9, 8) và (-8, -11)$

Bài 3:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
                  $xy^2+ 2xy – 243y + x = 0$
Hướng dẫn:
Ta có $xy^2+ 2xy – 243y + x = 0$$ \Leftrightarrow $ $x(y + 1)^2 = 243y$      (1)
Từ (1) với chú ý rằng $(y + 1; y) = 1$ ta suy ra $(y + 1)^2$ là ước của 243.
Vậy $(x, y) = (54, 2) ; (24, 8)$

Bài 4:
Tìm các số nguyên dương thỏa mãn :
      $x < y  < z$ và $5^x + 2.5^y + 5^z = 4500.$
Hướng dẫn:
Nếu $z < 5$ thì $5^x + 2.5^y + 5^z < 4500.$
Nếu $z > 5$ thì $5^x + 2.5^y + 5^z >  4500.$
Vậy $x = 3, y = 4, z = 5.$

Bài 5:
Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:  
                  $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$
Hướng dẫn:
Giả sử $1 \leqslant x \leqslant y$ thì $\frac{1}{x} \geqslant \frac{1}{y}$
$\begin{array}
\frac{1}{4} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leqslant \frac{2}{x} \Rightarrow x \leqslant 8  \\
\frac{1}{x} < \frac{1}{4} \Rightarrow x > 4  \\
\end{array} $
Vậy $4 < x \leqslant 8$, thử chọn để tìm nghiệm.
Đáp số: (5 ; 20), (20 ; 5), (6 ; 12), (12 ; 6), (8 ; 8)

Bài 6:
Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên dương:
                       ${x^{17}} + {y^{17}} = {19^{17}}$
Hướng dẫn:

Giả sử ${x^{17}} + {y^{17}} = {19^{17}}$ và $1 \leqslant x \leqslant y < 19$
Ta có:
$\begin{array}
  {19^{17}} \geqslant {(y + 1)^{17}}  \\
   \Rightarrow {19^{17}} > {y^{17}} + 17{y^{16}}  \\
\end{array} $
Vậy $x > 17$, chỉ có thể $x = y = 18$.
Thử lại, $x = y = 18$ không thỏa.
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương.