|
|
Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến hai ứng dụng cơ bản của định lý Lagrange, đó là chứng minh bất đẳng thức và chứng minh phương trình có nghiệm.
Phương pháp :
Định lý Lagrange : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a;b], có đạo hàm trong (a,b) thì tồn tại ít nhất một số c∈(a,b) sao cho : f(b)−f(a)=f′(c).(b−a)
Như vậy : Nếu f(b)=f(a) thì phương trình f′(x)=0 có nghiệm x=c∈(a,b)
Sau đây là các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng nếu 2a+3b+6c=0 với a,b,c∈R phương trình ax2+bx+c=0 có nghiệm thuộc (0,1).
Lời giải :
Xét hàm số : f(x)=13ax3+12bx2+cx liên tục và khả vi trên (0,1)
Ta có : f′(x)=ax2+bx+c
Theo định lý Lagrange thì tồn tại số x0∈(a,b) sao cho :
f(1)−f(0)=f′(x0)(1−0)=f′(x0)
với {f(1)=13a+12b+c=2a+3b+6c6f(0)=0
Suy ra 0=2a+3b+6c6=ax20+bx0+c
Như vậy x0 là nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0 (đpcm).
Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình :
5x4+40x3+105x2+100x+24=0 có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Xét hàm số : f(x)=x5+10x4+35x3+50x2+24x liên tục và khả vi trên R.
nhận thấy {f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)f′(x)=5x4+40x3+105x2+100x+24
Do đó phương trình f(x)=0 có các nghiệm là −4,−3,−2,−1,0. Tức là f(−4)=f(−3)=f(−2)=f(−1)=f(0)=0
Áp dụng định lý Lagrange lần lượt trên các đoạn :
[−4,−3],[−3,−2],[−2,−1],[−1,0]
Chẳng hạn xét trên đoạn [−1,0] thì tồn tại x1 sao cho:
f(0)−f(−1)=f′(x1)(0−−1)=f′(x1) với x1∈(−1,0)
⇒5x41+40x31+105x21+100x1+24=0
⇒x=x1 là một nghiệm của phương trình 5x4+40x3+105x2+100x+24=0
Trong (−1,0) có một nghiệm, làm tương tự với ba khoảng còn lại ta được thêm ba nghiệm nữa.
Mặt khác thì các khoảng này tách rời nhau nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi a,b,c∈R cho trước thì phương trình :
acos3x+bcos2x+ccosx+sinx=0 luôn có nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số : f(x)=13asin3x+12bsin2x+csinx−cosx
Ta thấy f(x) liên tục và khả vi trên (0,2π).
Mặt khác, {f′(x)=acos3x+bcos2x+ccosx+sinxf(0)=f(2π)=−1.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại x0∈(0,2π) sao cho :
f(2π)−f(0)=f′(x0)(2π−0)=2π.f′(x0)
⇒acos3x0+bcos2x0+ccosx0+sinx0=0
⇒x0 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 4. Cho f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0 thỏa mãn :
ann+1+an−1n+⋯+a12+a0=0.
Chứng minh phương trình f(x)=0 luôn có ít nhất một nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số g(x)=ann+1xn+1+an−1nxn+⋯+a12x2+a0x
thấy rằng g(x) liên tục và khả vi trên R.
Mặt khác, {g′(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=f(x)g(0)=0g(1)=ann+1+an−1n+⋯+a12+a0=0.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại x0∈(0,1) sao cho :
g(1)−g(0)=g′(x0)(1−0)=g′(x0)=f(x0)
⇒anxn0+an−1xn−10+⋯+a1x0+a0=0
⇒x0 là nghiệm của phương trình f(x)=0.
Ví dụ 5. Cho 0<a<b. Chứng minh rằng :
b−ab<lnba<b−aa
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
b−ab<lnb−lna<b−aa
Xét hàm số : f(x)=lnx với x∈(a,b)
f′(x)=1x luôn tồn tại với x∈(a,b) do 0<a<b.
Theo định lý Lagrange thì tồn tại c∈(a,b) sao cho :
f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)
⇔lnb−lna=1c(b−a)
⇔1c=lnb−lnab−a
Mặt khác : a<c<b⇒1b<1c<1a⇒1b<lnb−lnab−a<1a
⇔b−ab<lnb−lna<b−aa (đpcm).
Ví dụ 6. Chứng minh rằng :
a−b2≤cosa+b2.sina−b2≤b−a2
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh ⇔a−b≤sina−sinb≤b−a
⇔|sinb−sina|≤|b−a|
Xét hàm số : f(x)=sinx với x∈(a,b)
f′(x)=cosx luôn tồn tại ∀x∈(a,b)
Theo định lý Lagrange thì tồn tại c∈(a,b) sao cho :
f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)
⇒|f′(c)|=|f(b)−f(a)b−a|
⇒|cosc|=|sinb−sina||b−a|
Vì |cosc|≤1⇒|sinb−sina||b−a|≤1
Do đó : |sinb−sina|≤|b−a| (đpcm).
Ví dụ 7. Cho n>1,n∈Z. Chứng minh rằng :
12+13+⋯+1n<lnn<1+12+13+⋯+1n−1
Lời giải :
Xét hàm số : f(x)=lnx với x∈(n−1,n) với n>1.
f′(x)=1x luôn tồn tại ∀x∈(n−1,n) với n>1.
Theo định lý Lagrange thì tồn tại c∈(a,b) sao cho :
f(n)−f(n−1)=f′(c)[n−(n−1)]=f′(c)
⇒lnn−ln(n−1)=1c
Vì n−1<c<n⇒1n<1c<1n−1
⇒1n<lnn−ln(n−1)<1n−1(∗)
Lần lượt thay n=2,3,⋯,n vào (∗) ta được :
{12<ln2<113<ln3−ln2<1214<ln4−ln3<13⋯1n<lnn−ln(n−1)<1n−1
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được :
12+13+⋯+1n<ln2+ln3−ln2+ln4−ln3+⋯+lnn−ln(n−1)<1+12+13+⋯+1n−1
Do đó :
12+13+⋯+1n<lnn<1+12+13+⋯+1n−1 (đpcm).
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn 14a+9b+6c=0. Chứng minh rằng phương trình ax2+bx+c=0 có ít nhât một nghiệm thuộc [1,2].
Bài 2. Chứng minh rằng nếu các số a,b,c thỏa mãn am+2+bm+1+cm=0 với m∈N thì phương trình ax2+bx+c=0 có nghiệm thuộc (0,1).
Bài 3. Chứng minh rằng nếu phương trình a1cosx+a2cos2x+⋯+ancosnx=0 luôn có nghiệm với mọi ai∈R với i=1,2,⋯,n.
Bài 4. Chứng minh rằng nếu phương trình anxn+an−1xn−1+⋯+a1x=0 có nghiệm dương thì phương trình nanxn−1+(n−1)an−1xn−2+⋯+a1=0 cũng có nghiệm dương.
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi mọi a,b∈R thì : |arctana−arctanb|≤|a−b|.
Bài 6. Chứng minh rằng 1a<lnaa−1<1 với a>1.
Bài 7. Chứng minh rằng với a<a≤b và n>1,n∈N thì
n.an−1(b−a)≤bn−an≤nbn−1(b−a)
|