SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ


1.  PHƯƠNG PHÁP:
Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: $\left\{ \begin{array}
  A \geqslant m  \\
  B \leqslant m  \\
\end{array}  \right.$  nếu dấu bằng ở (1) và (2) cùng đạt được tại ${x_0}$  thì ${x_0}$  là nghiệm của phương trình $A = B$
Ta có : $\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  \leqslant 2$  Dấu bằng khi và chỉ khi $x = 0$ và $\sqrt {x + 1}  + \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} \geqslant 2$, dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình: $\sqrt {1 - 2008x}  + \sqrt {1 + 2008x}  = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt {1 + x} $
Đôi khi một số phương trình được tạo ra  từ ý tưởng : $\left\{ \begin{array}
  A \geqslant f\left( x \right)  \\
  B \leqslant f(x)  \\
\end{array}  \right.$  khi đó :  
                                                      $A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  A = f\left( x \right)  \\
  B = f\left( x \right)  \\
\end{array}  \right.$
Nếu ta đoán  trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng nếu nghiệm là vô tỉ việc không đoán nghiệm được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá nó.

Chú ý:
Khi giải phương trình vô tỷ bằng bất đẳng thức qua các phương trình hệ quả thì đến cuối bài toán phải thế nghiệm vào phương trình đầu để loại nghiệm ngoại lai.

Tóm tắt một vài bất đẳng thức cơ bản thường dùng để giải phương trình vô tỷ.
1. ${{\rm A}^{2n}} \geqslant 0, - {{\rm A}^{2n}} \leqslant 0\left( {n \in {{\rm N}^*}} \right)$ Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow $ A = 0
2. $\left| {{\rm A} = \left| { - {\rm A}} \right|} \right| \geqslant 0$ Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow $ A = 0
3. $\left| {\rm A} \right| \geqslant {\rm A}$. Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow {\rm A} \geqslant 0$
4. Bất đẳng thức Côsi với n số không âm: Nếu a1; a2; …., an không âm thì   a1 + a2 + … + an $ \geqslant n\sqrt[n]{{{a_1} + {a_2} + ...{a_n}}}$
Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow $ a1 = a2 = … an
5. Bất đẳng thức BCS với 2 bộ số (a1; a2; …., an); (b1; b2; …., bn) ta có:
${\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ....{a_n}{b_n}} \right)^2} \leqslant \left( {a_1^2 + a_2^2 + ...a_n^2} \right).\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right)$
Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}$. Quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng phải bằng 0.

VÍ DỤ
Bài 1.  
Giải phương trình:$\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt x  = \sqrt {x + 9} $
Giải:
Đk $x \geqslant 0$
Ta có : ${\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt x } \right)^2} \leqslant \left[ {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + x + 1} \right]\left[ {\frac{1}{{x + 1}} + {{\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)}^2}} \right] = x + 9$
Dấu bằng $ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} \Leftrightarrow x = \frac{1}{7}$

Bài 2.  
Giải phương trình : $13\sqrt {{x^2} - {x^4}}  + 9\sqrt {{x^2} + {x^4}}  = 16$
Giải:
Đk: $ - 1 \leqslant x \leqslant 1$
Biến đổi pt ta có : ${x^2}{\left( {13\sqrt {1 - {x^2}}  + 9\sqrt {1 + {x^2}} } \right)^2} = 256$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: ${\left( {\sqrt {13} .\sqrt {13} .\sqrt {1 - {x^2}}  + 3.\sqrt 3 .\sqrt 3 \sqrt {1 + {x^2}} } \right)^2} \leqslant \left( {13 + 27} \right)\left( {13 - 13{x^2} + 3 + 3{x^2}} \right) = 40\left( {16 - 10{x^2}} \right)$Áp dụng bất đẳng thức Côsi: $10{x^2}\left( {16 - 10{x^2}} \right) \leqslant {\left( {\frac{{16}}{2}} \right)^2} = 64$
Dấu bằng $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \sqrt {1 - {x^2}}  = \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{3}  \\
  10{x^2} = 16 - 10{x^2}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = \frac{2}{{\sqrt 5 }}  \\
  x =  - \frac{2}{{\sqrt 5 }}  \\
\end{array}  \right.$

BÀI TẬP:
Bài 1.
$\sqrt {x - 3}  + \sqrt {5 - x}  = {x^2} - 8x + 18$
ĐK: $x \leqslant x \leqslant 5$
Ta có: ${x^2} - 8x + 18 = {\left( {x - 4} \right)^2} + 2 \geqslant Z$
${\left( {\sqrt {x - 3}  + \sqrt {5 - x} } \right)^2} = (x - 3) + (5 - x) + 2\sqrt {(x - 3).(5 - x)} $
                 $ = 2 + 2\sqrt {(x - 3).(5 - x)}  \leqslant 2 + (x - 3) + (5 - x) = 4$
$ \Rightarrow \sqrt {x - 3}  + \sqrt {5 - x}  \leqslant Z$
Do đó $\sqrt {x - 3}  + \sqrt {5 - x}  = {x^2} - 8x + 18$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sqrt {x - 3}  + \sqrt {5 - x}  = 2} \\
  {{x^2} - 8x + 18 = 2}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 4$
Vậy phương trình có nghiệm x = 4

Bài 2.
${x^2} + 2x + 4 = 3\sqrt {{x^3} + 4x} $
ĐK: $x \geqslant 0$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 2 số không âm: $4x;{x^2} + 4$ có
$\begin{array}
  \sqrt {{x^3} + 4x}  = \frac{1}{2}\sqrt {4x({x^2} + 4)}  \leqslant \frac{1}{2}.\frac{{{x^2} + 4x + 4}}{2} = \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{4}  \\
   \Rightarrow \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{3} \leqslant \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{4} \Rightarrow {(x - 2)^2} \leqslant 0  \\
\end{array} $
Ta có: ${(x - 2)^2} \geqslant 0,\forall x$ nên $x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$
Thử lại x = 2 là nghiệm của phương trình
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2

Bài 3.
 ${x^2} + 4 = 2\sqrt {{x^4} + 4}  + 2\sqrt {{x^4} - 4} (*)$
Để giải bài toán này, đầu tiên ta cần chứng minh bài toán phụ
$a + b \leqslant \sqrt {2({a^2} + {b^2})} $ (I)
Dấu “ = ” xảy ra $ \Leftrightarrow a = b \geqslant 0$
${x^4} + 4 \geqslant 2\sqrt {{x^2} - 4} $ (Bất Đẳng thức Côsi)
$ \Leftrightarrow {x^4} + 4 \geqslant 4{x^2}(1)$
Áp dụng bài toán phụ
$\begin{array}
  2\sqrt {{x^4} + 4}  + 2\sqrt {{x^4} - 4}  \leqslant \sqrt {2\left[ {4({x^4} + 4) + 4({x^4} - 4)} \right]}   \\
   \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^4} + 4}  + 2\sqrt {{x^4} - 4}  \leqslant 4{x^2}(2)  \\
\end{array} $
(1), (2), (*) cho ta
$\begin{array}
  {x^4} + 4 = 2\sqrt {{x^4} + 4}  + 2\sqrt {{x^4} - 4}  = 4{x^2}  \\
   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x^4} = 4} \\
  {2\sqrt {{x^4} + 4}  = 2\sqrt {{x^4} - 4} }
\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \in \varphi   \\
\end{array} $
Vậy phương trình vô nghiệm.
(I)    chứng minh bài toán phụ:
    $a + b \leqslant \left| {a + b} \right| = \sqrt {{{(a + b)}^2}}  \leqslant \sqrt {{{(a + b)}^2} + {{(a - b)}^2}}  = \sqrt {2{{(a + b)}^2}} $

Bài 5.
$\sqrt {{x^2} + x}  + \sqrt {x - {x^2}}  = x + 1$
ĐK:  $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x^2} + x \geqslant 0} \\
  {x - {x^2} \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow 0 \leqslant x \leqslant 1} \right.$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số $\sqrt {{x^2} + x} ;\sqrt {x - {x^2}} $ ta có:
$\sqrt {{x^2} + x}  + \sqrt {x - {x^2}}  = \sqrt {({x^2} + x).1}  + \sqrt {(x - {x^2})1}  \leqslant \frac{{{x^2} + x + 1}}{2} + \frac{{x - {x^2} + 1}}{2} = x + 1$
Dấu “=” xảy ra, do đó  $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x^2} + x = 1} \\
  {x - {x^2} = 1}
\end{array} \Leftrightarrow x = 0} \right.$
Thử lại x = 0 không là nghiệm của phương trình
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 6.
$ - 16{x^4} + 72{x^3} - 81{x^2} + 28 - 16\left( {x - \sqrt {x - 2} } \right) = 0$
ĐK: x ≥ 2
Đặt $t = \sqrt {x - 2} ,t \geqslant 0$. Xét $f(t) = {t^2} - t + 2$ với $t \in \left[ {0; + \infty } \right)$
$\begin{array}
  4f(t) = 4{t^2} - 4t + 8 = {(2t - 1)^2} + 7 \geqslant 7  \\
   \Rightarrow f(t) \geqslant \frac{7}{4}  \\
  f(t) = \frac{7}{4} \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \in \left[ {0; + \infty } \right)  \\
\end{array} $
Vậy: $x - \sqrt {x - 2}  = x - 2 - \sqrt {x - 2}  + 2 = {t^2} - t + 2 \geqslant \frac{7}{4}($với $t = \sqrt {x - 2} )$
Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow \sqrt {x - 2}  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}$
Ta lại có: $\frac{{ - 16{x^4} + 72{x^3} - 81{x^2} + 28}}{{16}} = \frac{7}{4} - {\left( {x - \frac{9}{4}} \right)^2}{x^2} \leqslant \frac{7}{4}$
Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}$ hay $x = 0$
Vậy $ - 16{x^4} + 72{x^3} - 81{x^2} + 28 - 16\left( {x - \sqrt {x - 2} } \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}$

Bài 7.
$\sqrt {{x^2} + 2{y^2} - 6x + 4y + 11}  + \sqrt {{x^3} + 3{y^2} + 2x + 6y + 4}  = 4$
Ta có:
    $\sqrt {{x^2} + 2{y^2} - 6x + 4y + 11}  + \sqrt {{x^2} + 3{y^2} + 2x + 6y + 4} $
  $\begin{array}
   = \sqrt {\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + \left( {2{y^2} + 4y + 2} \right)}  + \sqrt {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 3\left( {{y^2} + 2y + 1} \right)}   \\
   = \sqrt {{{(3 - x)}^2} + 2{{(y + 1)}^2}}  + \sqrt {{{(x + 1)}^2} + 3{{(y + 1)}^2}}   \\
   \geqslant \sqrt {{{(3 - x)}^2}}  + \sqrt {{{(x + 1)}^2}}  = \left| {3 - x} \right| + \left| {x + 1} \right|  \\
\end{array} $
Áp dụng tính chất $\left| {\rm A} \right| \geqslant {\rm A}$. Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow {\rm A} \geqslant 0$
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\left| {3 - x} \right| \geqslant 3 - x} \\
  {\left| {x + 1} \right| \geqslant x + 1}
\end{array} \Rightarrow } \right.\left| {3 - x} \right| + \left| {x + 1} \right| \geqslant 3 - x + x + 1 = 4$
Từ (1) suy ra:
$\sqrt {{x^2} + 2{y^2} - 6x + 4y + 11}  + \sqrt {{x^2} + 3{y^2} + 2x + 6y + 4}  \geqslant 4(2)$
Dấu đẳng thức xảy ra trong (2) khi và chỉ khi
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {y + 1 = 0} \\
  {3 - x \geqslant 0} \\
  {x + 1 \geqslant 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {y =  - 1} \\
  { - 1 \leqslant x \leqslant 3}
\end{array}} \right.$
Vậy nghiệm của phương trình là
(x; y) = (x0; -1) với ${x_0} \in \left[ { - 1;3} \right]$

Bài 8.
$\sqrt[4]{{27{x^2} + 24x + \frac{{28}}{3}}} = 1 + \sqrt {\frac{{27}}{2}x + 6} $
Ta có:$\sqrt[4]{{27{x^2} + 24x + \frac{{28}}{3}}} = 1 + \sqrt {\frac{{27}}{3}x + 6} $
$ \Leftrightarrow 2\sqrt[4]{{\frac{{81{x^2} + 72x + 16}}{3} + 4}} = 1 + \sqrt {\frac{{3(9x + 4)}}{2}} $
$ \Leftrightarrow 2\sqrt[4]{{\frac{{{{(9x + 4)}^2}}}{3} + 4}} = 1 + \sqrt {\frac{{3{{(9x + 4)}^2}}}{2}} (1)$
ĐK: $9x + 4 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant  - \frac{9}{4}$
Đặt: $9x + 4 = y \geqslant 0$. Khi đó (1) trở thành :
$2\sqrt[4]{{\frac{{{y^2}}}{3} + 4}} = 1 + \sqrt {\frac{{3y}}{2}} $
$ \Leftrightarrow 4\sqrt[4]{{\frac{{{y^2}}}{3} + 4}} = 1 + \frac{{3y}}{2} + \sqrt {6y} $
Sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
$\sqrt {6y}  \leqslant \frac{{6 + y}}{2}$
$\begin{array}
   \Rightarrow 4\sqrt {\frac{{{y^2}}}{3} + 4}  \leqslant 2y + 4  \\
   \Leftrightarrow 4(\frac{{{y^2}}}{3} + 4) \leqslant {(y + 2)^2}  \\
   \Leftrightarrow \frac{{{{(y - 6)}^2}}}{3} \leqslant 0  \\
\end{array} $
Mà ${(y - 6)^2} \geqslant 0$ nên $y - 6 = 0 \Leftrightarrow y = 6 \Rightarrow x = \frac{{y - 4}}{9} = \frac{2}{9}$ (thoả điều kiện)
Thử lại $x = \frac{2}{9}$ là nghiệm của phương trình
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{2}{9}$

Bài 9.
2$\sqrt {7{x^3} - 11{x^2} + 25x - 12}  = {x^2} + 6x - 1$
Ta có:
 $\begin{array}
  2\sqrt {7{x^3} - 11{x^2} + 25x - 12}  = {x^2} + 6x - 1  \\
   \Leftrightarrow 2\sqrt {(7x - 4)({x^2} - x + 3)}  = {x^2} + 6x - 1  \\
\end{array} $
Đk: $(7x - 4)({x^2} - x - 3) \geqslant 0$ vì(${x^2} - x = 3 = {(x - \frac{1}{2})^2} + \frac{{11}}{4} > 0)$
$ \Leftrightarrow 7x - 4 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant \frac{4}{7}$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số âm $7x - 4,{x^2} - x + 3$
Ta có:
$(7x - 4) + ({x^2} - x + 3) \geqslant 2\sqrt {(7x - 4)({x^2} - x + 3)} $
$ \Rightarrow {x^2} - 6x - 1 \geqslant 2\sqrt {7{x^3} - 11x + 25x - 12} $
Dấu đẳng thức xảy ra khi :
$\begin{array}
  7x - 4 = {x^2} - x + 3  \\
   \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 7 = 0  \\
   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = 1} \\
  {x = 7}
\end{array}} \right.  \\
\end{array} $ (thoả điều kiện)
Thử lại $x = 1;x = 7$ là nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1;x = 7$

Bài 10.
 $\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt x  = \sqrt {x + 9} $
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 cặp: $2\sqrt 2 ;\sqrt {x + 1} $và $\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }};\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + 1} }}$
Ta có:
${(\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt x )^2} = {(2\sqrt 2 .\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt {x + 1} .\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + 1} }})^2} \leqslant (8 + x + 1)(\frac{1}{{x + 1}} + \frac{x}{{x + 1}}) = x + 9$
Do dấu: “=” xảy ra nên
$\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + 1} }} \Leftrightarrow x = \frac{1}{7}$ (thoã mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{1}{7}$

Bài 11.
$\sqrt {{x^2} + x + 1}  - \sqrt {{x^2} - x + 1}  - 4{x^2} + 4 = \frac{{32}}{{{x^2}\left( {2{x^2} + {3^2}} \right)}}$
Xét :$4{x^2} + \frac{{32}}{{{x^2}{{\left( {2{x^2} + 3} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\left[ {4{x^2} + \left( {2{x^2} + 3} \right) + \left( {2{x^2} + 3} \right) + \frac{{64}}{{{x^2}\left( {2{x^2} + 3} \right)}}} \right] - 3$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
$4{x^2} + \frac{{32}}{{{x^2}{{\left( {2{x^2} + 3} \right)}^2}}} \geqslant \frac{1}{2}\left( {\sqrt[4]{{4{x^2}.{{\left( {2{x^2} + 3} \right)}^2}.\frac{{64}}{{{x^2}{{\left( {2{x^2} + 3} \right)}^2}}}}}} \right) - 3 = \frac{1}{2}4\sqrt[4]{{6.64}} - 3 = 5$
Suy ra vế trái $ = 4{x^2} + \frac{{32}}{{{x^2}{{\left( {2{x^2} + 3} \right)}^2}}} - 4 \geqslant 5 - 4 = 1$
Xét : $\begin{array}
  \sqrt {{x^2} + x + 1}  - \sqrt {{x^2} - x + 1}  < 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + x + 1}  < 1 + \sqrt {{x^2} - x + 1}   \\
   \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 < 1 + {x^2} - x + 1 + 2\sqrt {{x^2} - x + 1}   \\
   \Leftrightarrow 2x - 1 < 2\sqrt {{x^2} - x + 1}   \\
\end{array} $

Nếu $2x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2} \Rightarrow (1)$luôn đúng
Nếu $2x - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$
(1) $ \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 < 4({x^2} - x + 1) \Leftrightarrow 1 < 4$đúng
Vế trái < 1$ \leqslant $ vế phải. Vậy phương trình vô nghiệm


  Bài 13.
$\sqrt[4]{{1 - {x^2}}} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + x}} = 3$
ĐK:
$ - 1 \leqslant x \leqslant 1$ áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
$\begin{array}
  \sqrt[4]{{1 - {x^2}}} = \sqrt[4]{{(1 - x)(1 + x)}} = \sqrt {\sqrt {1 - x} .\sqrt {1 + x} }  \leqslant \frac{{\sqrt {1 - x}  + 1}}{2}  \\
  \sqrt[4]{{1 - {x^2}}} = \sqrt {\sqrt {1 + x} .1}  \leqslant \frac{{\sqrt {1 + x}  + 1}}{2}  \\
\end{array} $
Cộng từng số bất đẳng thức cùng chiều ta có:
$\sqrt[4]{{1 - {x^2}}} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + x}} \leqslant 1 + \sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x} $
Mặt khác, theo bất đẳng thức Côsi ta có:
$\begin{array}
  \sqrt {1 - x}  = \sqrt {(1 - x)1}  \leqslant \frac{{(1 - x) + 1}}{2} = \frac{{2 - x}}{2}  \\
  \sqrt {1 - x}  = \sqrt {(1 + x)1}  \leqslant \frac{{(1 + x) + 1}}{2} = \frac{{2 + x}}{2}  \\
   \Rightarrow 1 + \sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x}  \leqslant 1 + \frac{{2 - x}}{2} + \frac{{2 + x}}{2} = 3  \\
\end{array} $
Vậy $\sqrt[4]{{1 - {x^2}}} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + x}} \leqslant 3$
Do đó phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow $ dấu bất đẳng thức trong (1) xảy ra.
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sqrt {1 - x}  = \sqrt {1 + x} } \\
  {1 - x = 1} \\
  {1 + x = 1}
\end{array} \Leftrightarrow x = 0} \right.$ (Thoả điều kiện)
Vậy phương trình đã cho nghiệm x = 0

Thẻ

× 179
× 676

Lượt xem

 26970
Bài 106644
Bài 100637
Bài 101502
Bài 102571
Bài 102576
Chat chit và chém gió
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:50 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:50 PM
  • hoahoa.nhynhay: ..................... 11/5/2018 1:39:52 PM
  • vinhlyle: hi 11/10/2018 8:03:02 PM
  • ๖ۣۜBossღ: 3:00 AM 11/11/2018 10:17:11 PM
  • quanghungnguyen256: sao wweb cứ đăng nhập mãi nhĩ, k trả lời đc bài viết nữa 11/30/2018 4:35:45 PM
  • quanghungnguyen256: web nát r à 11/30/2018 4:36:19 PM
  • quanghungnguyen256: 11/11/2018 h là 30/11. oi web chắt k ai dùng r hả 11/30/2018 4:36:44 PM
  • quanghungnguyen256: rofum ngon thế mà sao admin lại k nâng cấp nhỡ 11/30/2018 4:37:07 PM
  • nguyenlena2611: talk_to_the_hand 12/24/2018 9:24:22 PM
  • nguyenlena2611: big_grinsurpriseblushing 12/24/2018 9:28:35 PM
  • Việt EL: ^^ 2/16/2019 8:37:21 PM
  • Việt EL: he lô he lô 2/16/2019 8:37:34 PM
  • Việt EL: y sờ e ny guan hiar? 2/16/2019 8:38:15 PM
  • Việt EL: èo 2/16/2019 8:38:32 PM
  • Việt EL: éo có ai 2/16/2019 8:40:48 PM
  • dfgsgsd: Hế lô 2/21/2019 9:52:51 PM
  • dfgsgsd: Lờ ôn lôn huyền ..... 2/21/2019 9:53:01 PM
  • dfgsgsd: Cờ ắc cắc nặng.... 2/21/2019 9:53:08 PM
  • dfgsgsd: Chờ im.... 2/21/2019 9:53:12 PM
  • dfgsgsd: Dờ ai dai sắc ...... 2/21/2019 9:53:23 PM
  • dfgsgsd: ờ ưng nưng sắc.... 2/21/2019 9:53:37 PM
  • dfgsgsd: Mờ inh minh huyền.... đờ ep nặng... trờ ai... quờ a sắc.... đờ i.... 2/21/2019 9:54:11 PM
  • nln: winking 2/28/2019 9:02:14 PM
  • nln: big_grin 2/28/2019 9:02:16 PM
  • nln: smug 2/28/2019 9:02:18 PM
  • nln: talk_to_the_hand 2/28/2019 9:02:20 PM
  • nln: Specialise 2/28/2019 9:51:54 PM
  • nlnl: But they have since become two much-love 2/28/2019 10:03:10 PM
  • dhfh: sad 3/2/2019 9:27:26 PM
  • ๖ۣۜNatsu: allo 3/3/2019 11:39:32 PM
  • ffhfdh: reyeye 3/5/2019 8:53:26 PM
  • ffhfdh: ủuutrr 3/5/2019 8:53:29 PM
  • dgdsgds: ujghjj 3/24/2019 9:12:47 PM
  • ryyty: ghfghgfhfhgfghgfhgffggfhhghfgh 4/9/2019 9:34:48 PM
  • gdfgfd: gfjfjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj 4/14/2019 9:53:38 PM
  • gdfgfd: sadsadsadsadsadsad 4/14/2019 9:59:30 PM
  • fdfddgf: trâm anh 4/17/2019 9:40:50 PM
  • gfjggg: a lot of advice is available for college leavers 5/10/2019 9:32:12 PM
  • linhkim2401: big_hug 7/3/2019 9:35:43 AM
  • ddfhfhdff: could you help me do this job 7/23/2019 10:29:49 PM
  • ddfhfhdff: i don't know how to 7/23/2019 10:30:03 PM
  • ddfhfhdff: Why you are in my life, why 7/23/2019 10:30:21 PM
  • ddfhfhdff: Could you help me do this job? I don't know how to get it start 7/23/2019 10:31:45 PM
  • ddfhfhdff: big_grinwhistling 7/23/2019 10:32:50 PM
  • ddfhfhdff: coukd you help me do this job 7/23/2019 10:39:22 PM
  • ddfhfhdff: i don't know how to get it start 7/23/2019 10:39:38 PM
  • huy31012002: hú 9/13/2019 10:43:52 PM
  • huongpha226: hello 11/29/2019 8:22:41 PM
  • hoangthiennhat29: pig 4/2/2020 9:48:11 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:18 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:19 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:20 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:22 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:23 PM
  • cutein111: hello 4/9/2020 9:23:30 PM
  • cutein111: mấy bạn 4/9/2020 9:23:33 PM
  • cutein111: mấy bạn cần người ... k 4/9/2020 9:23:49 PM
  • cutein111: mik sẽ là... của bạn 4/9/2020 9:23:58 PM
  • cutein111: hihi 4/9/2020 9:24:00 PM
  • cutein111: https://www.youtube.com/watch?v=EgBJmlPo8Xw 4/9/2020 9:24:12 PM
  • nhdanfr: Hello 9/17/2020 8:34:26 PM
  • minhthientran594: hi 11/1/2020 10:32:29 AM
  • giocon123fa: hi mọi ngừi :33 1/31/2021 10:31:56 PM
  • giocon123fa: call_me 1/31/2021 10:32:46 PM
  • giocon123fa: không còn ai nữa à? 1/31/2021 10:36:35 PM
  • giocon123fa: toi phải up cái này lên face để mọi người vào chơilaughing) 1/31/2021 10:42:37 PM
  • manhleduc712: hí ae 2/23/2021 8:51:42 AM
  • vaaa: f 3/27/2021 9:40:49 AM
  • vaaa: fuck 3/27/2021 9:40:57 AM
  • L.lawiet: l 6/4/2021 1:26:16 PM
  • tramvin1: . 6/14/2021 8:48:20 PM
  • dothitam04061986: solo ff ko 7/7/2021 2:47:36 PM
  • dothitam04061986: ai muốn xem ngực e ko ạ 7/7/2021 2:49:36 PM
  • dothitam04061986: e nứng 7/7/2021 2:49:52 PM
  • Phương ^.^: ngủ hết rồi ạ? 7/20/2021 10:16:31 PM
  • ducanh170208: hi 8/15/2021 10:23:19 AM
  • ducanh170208: xin chao mọi người 8/15/2021 10:23:39 AM
  • nguyenkieutrinh: hiu lo m.n 9/14/2021 7:30:55 PM
  • nguyenngocha651: Xin chào tất cả các bạn 9/20/2021 3:13:46 PM
  • nguyenngocha651: Có ai onl ko, Ib với mik 9/20/2021 3:14:08 PM
  • nguyenngocha651: Còn ai on ko ạ 9/20/2021 3:21:34 PM
  • nguyenngocha651: ai 12 tủi, sinh k9 Ib Iw mik nhố 9/21/2021 10:22:38 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • dvthuat
  • hoàng anh thọ
  • nhungtt0312
  • Xusint
  • tiendat.tran.79
  • babylove_yourfriend_1996
  • thaonguyenxanh1369
  • hoangthao0794
  • zzzz1410
  • watashitipho
  • HọcTạiNhà
  • Cá Hêu
  • peonycherry
  • phanqk1996
  • giothienxung
  • khoaita567
  • nguyentranthuylinhkt
  • maimatmet
  • minh.mai.td
  • quybalamcam
  • m_internet001
  • bangtuyettrangsocola
  • chizjzj
  • vuivequa052
  • haibanh237
  • sweetmilk1412
  • panhhuu
  • mekebinh
  • Nghịch Thuỷ Hàn
  • Lone star
  • LanguaeofLegend
  • huongduong2603
  • i_love_you_12387
  • a ku
  • heohong_congchua
  • impossitable111
  • khanh
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • huynhhoangphu.10k7
  • namduong2016
  • vycreepers
  • Bảo Phươngg
  • Yurika Yuki
  • tinysweets98
  • Thùy Trang
  • Hàn Thiên Dii
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • LeQuynh
  • thithuan27
  • huhunhh
  • ๖ۣۜDemonღ
  • nguyenxinh6295
  • phuc642003
  • diephuynh2009
  • Lê Giang
  • Han Yoon Min
  • ...
  • thuyvan
  • Mặt Trời Bé
  • DoTri69
  • bac1024578
  • Hạ Vân
  • thuong0122
  • nhakhoahoc43
  • tuanngo.apd
  • Đức Vỹ
  • ๖ۣۜCold
  • Lethu031193
  • salihova.eldara