Bài 100987

Question

Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm $ C(2,0) $ và elip $(E):\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1 $.
Tìm tọa độ các điểm $A, B$ thuộc $ (E) $ biết $A, B$ đối xứng với nhau qua trục hoành và $ABC$ là tam giác đều.

score 0 · Answer 1

Giả sử $ A({x_0},{\rm{ }}{y_0}) ;B({x_0},{\rm{ }}- {y_0}) $ là hai điểm thuộc $ (E) $ và đối xứng với nhau qua trục hoành.
Ta có thể giả sử $ {y_0} > 0 $ . Khi đó $ AB = 2{y_0} $ .
Vì ABC là tam giác đều $ \Leftrightarrow AC = AB $ (do hiển nhiên AC = BC)
$ AC = AB $ $ \Leftrightarrow A{C^2} = A{B^2} $ $ \Leftrightarrow y_0^2 + {(2 - {x_0})^2} = 4y_0^2 $ $ \Leftrightarrow {(2 - {x_0})^2} = 3y_0^2 $ (1)
Mặt khác vì: $ A({x_0},{\rm{ }}{y_0}) \in (E) $ , nên: $ \frac{{x_0^2}}{4} + y_0^2 = 1 $ (2)
Thay (2) vào (1) và có: $ {(2 - {x_0})^2} = 3\left( {1 - \frac{{x_0^2}}{4}} \right) $
$ \Leftrightarrow 4 - 4{x_0} + x_0^2 = 3 - \frac{{3x_0^2}}{4} $ $ \Leftrightarrow 16 - 16{x_0} + 4x_0^2 = 12 - 3x_0^2 $
$ \Leftrightarrow 7x_0^2 - 16{x_0} + 4 = 0 $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 2\\
{x_0} = \frac{2}{7}
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{y_0} = 0\\
{y_0} = \pm \frac{{4\sqrt 3 }}{7}
\end{array} \right. $
Do $ {y_0} \ne 0 $ nên loại $ {x_0} = 2 $ .
Vậy hai điểm cần tìm có tọa độ là: $ \left( {\frac{2}{7},{\rm{ }}\frac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right) $ và $ \left( {\frac{2}{7},{\rm{ }} - \frac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right) $

Bài 100987

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100987

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan