Bài 100985

Question

Cho elip $ (E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 $
$a)$ Tìm điểm $ M \in (E) $ sao cho $ \widehat {F_1MF_2} = {90^0} $ , ở đây $F_1$,$ F_2 $ là hai tiêu điểm của elip.
$b)$ Tìm điểm $ M \in (E) $ sao cho $ MF_2= 2MF_1$

score 0 · Answer 1

a) Từ phương trình của $ (E) $ suy ra: $ a = 5,{\rm{ }}b = 4 $
Do đó $ c = 3 $ , nên các tiêu điểm $ {F_1} $ , $ {F_2} $ có tọa độ là: $ {F_1} = ( - 3,{\rm{ }}0) $ và $ {F_2} = (3,{\rm{ }}0) $
Theo công thức tính bán kính qua tiêu điểm, nếu $ M({x_0},{\rm{ }}{y_0}) \in (E) $ thì:
$ M{F_1} = a + \frac{{c{x_0}}}{a} = 5 + \frac{{3{x_0}}}{5} $ ; $ M{F_2} = a - \frac{{c{x_0}}}{a} = 5 - \frac{{3{x_0}}}{5} $
$ \widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^o} $ $ \Leftrightarrow {(M{F_1})^2} + {(M{F_2})^2} = {({F_1}{F_2})^2} $
$ \Leftrightarrow {\left( {5 + \frac{{3{x_0}}}{5}} \right)^2} + {\left( {5 - \frac{{3{x_0}}}{5}} \right)^2} = 36 $ $ \Leftrightarrow 2\left( {25 + \frac{{9x_0^2}}{{25}}} \right) = 36 $
$ \Leftrightarrow 25 + \frac{{9x_0^2}}{{25}} = 18 $ $ \Leftrightarrow \frac{{9x_0^2}}{{25}} = - 7 $ (1)
Do (1) vô nghiệm, nên không tồn tại điểm M thỏa mãn yêu cầu đầu bài.

b) $ M{F_2} = 2M{F_1} $ $ \Leftrightarrow a - \frac{{c{x_0}}}{a} = 2\left( {a + \frac{{c{x_0}}}{a}} \right) $
$ \Leftrightarrow a - \frac{{c{x_0}}}{a} = 2a + 2\frac{{c{x_0}}}{a} $ $ \Leftrightarrow - \frac{{3c{x_0}}}{a} = a $ $ \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{ - {a^2}}}{{3c}} $
Thay số ta có: $ {x_0} = \frac{{ - 25}}{9} $
Thay lại vào phương trình: $ \frac{{x_0^2}}{{25}} + \frac{{y_0^2}}{{16}} = 1 $
$ \Rightarrow \frac{{y_0^2}}{{16}} = 1 - \frac{{25}}{{81}} = \frac{{56}}{{81}} $ $ \Rightarrow \frac{{{y_0}}}{4} = \pm \frac{{\sqrt {56} }}{9} $ $ \Rightarrow {y_0} = \pm \frac{{4\sqrt {56} }}{9} $
Vậy trên $ (E) $ có hai điểm phải tìm là $ {M_1}\left( {\frac{{ - 25}}{9},{\rm{ }}\frac{{4\sqrt {56} }}{9}} \right) $ và $ {M_2}\left( {\frac{{ - 25}}{9},{\rm{ }}\frac{{ - 4\sqrt {56} }}{9}} \right) $

Bài 100985

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100985

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan