Bài 100253

Question

Giải phương trình: $3\tan^3x-\tan x+\frac{3(1+\sin x)}{\cos^2x} =8\cos^2(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2} )$

score 0 · Answer 1

Điều kiện: $\cos x \ne 0$. Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left( * \right) \Leftrightarrow {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}(3{\tan ^2}x - 1) + 3(1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})(1 + {\tan ^2}x) = 4\left[ {1 + c{\rm{os}}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} \right]\\
\Leftrightarrow {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}(3{\tan ^2}x - 1) + 3(1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})(1 + {\tan ^2}x) = 4(1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})
\end{array}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}(3{\tan ^2}x - 1) + (1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})\left[ {3\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - 4} \right] = 0\\
\Leftrightarrow (3{\tan ^2}x - 1)({\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}} + 1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}) = 0\\
\Leftrightarrow (3{\tan ^2}x - 1)({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\cos x) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3{\tan ^2}x = 1\,\,(**)\\
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\cos x = 0\,\,(***)
\end{array} \right.
\end{array}$
$(**) \Leftrightarrow {\tan ^2}x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}} = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,(k \in Z)$
$(***) \Leftrightarrow(sinx+1)(cosx+1)=1\Leftrightarrow (sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2})^2.2cos^2\frac{x}{2}=1$
$\Leftrightarrow (sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2})cos\frac{x}{2}=\pm \frac{1}{\sqrt2} $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}sin^2\frac{x}{2}-\sqrt2sin \frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+(\sqrt2-1)cos^2 \frac{x}{2} =0 \\ sin^2\frac{x}{2}+\sqrt2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+(\sqrt2+1)cos^2\frac{x}{2} =0 \end{array} \right.$
Giải ra ta tìm được $tan\frac{x}{2}=\sqrt2- \sqrt{3-\sqrt2}=tan\alpha\Rightarrow x=2\alpha+m2\pi (m \in Z)$
Tóm lại phương trình có 2 họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l} x= \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,(k \in Z) \\ x=2\alpha+m2\pi (m \in Z) \end{array} \right. $

Bài 100253

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100253

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan