1. Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số
Định lý 1:
Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y=u(x)+v(x) và y=u(x)−v(x) cũng có đạo hàm trên J, và
a)[u(x)+v(x)]′=u′(x)+v′(x);b)[u(x)−v(x)]′=u′(x)−v′(x).
Mở rộng: Nếu các hàm số u, v,…, w có đạo hàm trên J thì trên J ta có:
(u±v±...±w)′=u′±v′±...±w'
Ví dụ: tìm đạo hàm của hàm số f(x)=x6−√x+2 trên khoảng (0;+∞).
Giải: Trên khoảng (0;+∞) ta có
(x6−√x+2)′=(x6)′−(√x)′+(2)′=6x5−12√x⇒f′(x)=6x5−12√x
2. Đạo hàm của tích hai số
Định lý 2:
Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y=u(x)v(x) cũng có đạo hàm trên J, và
[u(x)v(x)]′=u′(x).v(x)+u(x).v′(x);
Đặc biệt , nếu k là hằng số thì [ku(x)]′=ku′(x)
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f(x)=(2x2+1)√x
f′(x)=[(2x2+1)√x]′=(2x2+1)′√x+(2x2+1)(√x)′=4x√x+(2x2+1)12√x
3. Đạo hàm của thương hai hàm số:
Định lí 3: (uv)′=u′v−uv′v2
Hệ quả:
Trên (−∞;0)∪(0;+∞) ta có (1x)′=−1x2
Nếu hàm số v=v(x) có đạo hàm trên J và v(x)≠0 với mọi x thuộc J thì trên J ta có (1v(x))′=−v′(x)v2(x)
4. Đạo hàm của hàm số hợp
a)Khái niệm hàm số hợp
Cho hai hàm số y=f(u) và u=u(x). Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức u(x), ta được biểu thức f[u(x)] với biến x. Khi đó, hàm số y=g(x) và g(x)=f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của hai hàm số fvà u; hàm số ugọi là hàm số trung gian.
b) Cách tính đạo hàm của hàm số hợp
Định lí 4:
a) Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số y=f(u) có đạo hàm tại điểm u0=u(x0)thì hàm số hợp g(x)=f[u(x)] có đạo hàm tại điểm x0, và
g′(x0)=f′(u0).u′(x0)
b) Nếu giả thiết trong phần a) được thỏa mãn đối với mọi điểm x thuộc J thì hàm số hợp y=g(x) có đạo hàm trên J, và
g′(x)=f′[u(x)].u′(x)
Hệ quả 1: Nếu hàm số u=u(x)có đạo hàm trên J thì hàm số y=un(x) (với n∈N và n⩾2) có đạo hàm trên J, và
[un(x)]′=n.un−1(x).u′(x)
Hệ quả 2: Nếu hàm số u=u(x)có đạo hàm trên J và u(x)>0 với mọi x∈J thì hàm số y=√u(x) có đạo hàm trên J, và
(√u(x))′=u′(x)2√u(x)
|