1. Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số
Định lý 1:
Nếu hai hàm số $u = u\left( x \right)$ và $v = v\left( x \right)$ có đạo hàm trên J thì hàm số $y = u\left( x \right) + v\left( x \right)$ và $y = u\left( x \right) - v\left( x \right)$ cũng có đạo hàm trên J, và
$\begin{gathered}
a)\,\left[ {u\left( x \right) + v\left( x \right)} \right]' = u'\left( x \right) + v'\left( x \right); \\
b)\,\left[ {u\left( x \right) - v\left( x \right)} \right]' = u'\left( x \right) - v'\left( x \right). \\
\end{gathered} $
Mở rộng: Nếu các hàm số u, v,…, w có đạo hàm trên J thì trên J ta có:
$\left( {u\,\, \pm \,\,v\,\, \pm ... \pm \,\,{\text{w}}} \right)' = u'\,\, \pm \,\,v'\,\, \pm ... \pm \,\,{\text{w'}}$
Ví dụ: tìm đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^6} - \sqrt x + 2$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.
Giải: Trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ ta có
$\left( {{x^6} - \sqrt x + 2} \right)' = \left( {{x^6}} \right)' - \left( {\sqrt x } \right)' + \left( 2 \right)' = 6{x^5} - \frac{1}{{2\sqrt x }}\,\,\, \Rightarrow \,\,\,f'\left( x \right) = 6{x^5} - \frac{1}{{2\sqrt x }}$
2. Đạo hàm của tích hai số
Định lý 2:
Nếu hai hàm số $u = u\left( x \right)$ và $v = v\left( x \right)$ có đạo hàm trên J thì hàm số $y = u\left( x \right)v\left( x \right)$ cũng có đạo hàm trên J, và
$\,\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]' = u'\left( x \right).v\left( x \right) + u\left( x \right).v'\left( x \right)$;
Đặc biệt , nếu k là hằng số thì $\left[ {ku\left( x \right)} \right]' = ku'\left( x \right)$
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = \left( {2{x^2} + 1} \right)\sqrt x $
$\begin{gathered}
f'\left( x \right) = \left[ {\left( {2{x^2} + 1} \right)\sqrt x } \right]' = \left( {2{x^2} + 1} \right)'\sqrt x + \left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {\sqrt x } \right)' \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4x\sqrt x + \left( {2{x^2} + 1} \right)\frac{1}{{2\sqrt x }} \\
\end{gathered} $
3. Đạo hàm của thương hai hàm số:
Định lí 3: $\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$
Hệ quả:
Trên $\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$ ta có $\left( {\frac{1}{x}} \right)' = - \frac{1}{{{x^2}}}$
Nếu hàm số $v = v\left( x \right)$ có đạo hàm trên J và $v\left( x \right) \ne 0$ với mọi $x$ thuộc J thì trên J ta có $\left( {\frac{1}{{v\left( x \right)}}} \right)' = - \frac{{v'\left( x \right)}}{{{v^2}\left( x \right)}}$
4. Đạo hàm của hàm số hợp
a)Khái niệm hàm số hợp
Cho hai hàm số $y = f\left( u \right)$ và $u = u\left( x \right)$. Thay thế biến u trong biểu thức $f\left( u \right)$ bởi biểu thức $u\left( x \right)$, ta được biểu thức $f\left[ {u\left( x \right)} \right]$ với biến $x$. Khi đó, hàm số $y = g\left( x \right)$ và $g\left( x \right) = f\left[ {u\left( x \right)} \right]$ được gọi là hàm số hợp của hai hàm số $f$và $u$; hàm số $u$gọi là hàm số trung gian.
b) Cách tính đạo hàm của hàm số hợp
Định lí 4:
a) Nếu hàm số $u = u\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${x_0}$ và hàm số $y = f\left( u \right)$ có đạo hàm tại điểm ${u_0} = u\left( {{x_0}} \right)$thì hàm số hợp $g\left( x \right) = f\left[ {u\left( x \right)} \right]$ có đạo hàm tại điểm ${x_0}$, và
$g'\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{u_0}} \right).u'\left( {{x_0}} \right)$
b) Nếu giả thiết trong phần a) được thỏa mãn đối với mọi điểm $x$ thuộc J thì hàm số hợp $y = g\left( x \right)$ có đạo hàm trên J, và
$g'\left( x \right) = f'\left[ {u\left( x \right)} \right].u'\left( x \right)$
Hệ quả 1: Nếu hàm số $u = u\left( x \right)$có đạo hàm trên J thì hàm số $y = {u^n}\left( x \right)$ (với $n \in \mathbb{N}$ và $n \geqslant 2$) có đạo hàm trên J, và
$\left[ {{u^n}\left( x \right)} \right]' = n.{u^{n - 1}}\left( x \right).u'\left( x \right)$
Hệ quả 2: Nếu hàm số $u = u\left( x \right)$có đạo hàm trên J và $u\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in J$ thì hàm số $y = \sqrt {u\left( x \right)} $ có đạo hàm trên J, và
$\left( {\sqrt {u\left( x \right)} } \right)' = \frac{{u'\left( x \right)}}{{2\sqrt {u\left( x \right)} }}$