|
|
1. Khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit
ĐỊNH NGHĨA
Gỉa sử a là một số dương và khác 1.
Hàm số dạng y=ax được gọi là hàm số mũ cơ số a
Hàm số dạng y=logax được gọi là hàm số lôgarit cơ số a
2. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit
a) Ta thừa nhận rằng các hàm số y=axvà y=logax liên tục tại mọi điểm mà nó xác định, tức là
∀xo∈R,limx→x0ax=ax0,∀xo∈R∗+,limx→x0logax=logax0,
a) Đạo hàm của hàm số lôgarit
Ta có: limx→0(1+x)1x=e(1)
Từ đó suy ra các giới hạn quan trọng sau:
ĐỊNH LÝ 1
limx→0ln(1+x)x=1(2)limx→0ex−1x=1(3)
3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
a, Đạo hàm của hàm số mũ
ĐỊNH LÝ 2
a, Hàm số y=ax có đạo hàm tại mọi điểm x∈R và
(ax)′=axlna nói riêng ta có (ex)′=ex
b, Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y=au(x) có đạo hàm trên J và (au(x))′=u′(x)au(x)lna nói riêng ta có (eu(x))′=u′(x)eu(x)
b, Đạo hàm của hàm số lôgarit
ĐỊNH LÍ 3
a, Hàm số y=logax có đạo hàm tại mọi điểm x>0 và
(logax)′=1xlna; nói riêng ta có(lnx)′=1x
b, Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số y=logau(x)có đạo hàm trên J và
(logu(x))′=u′(x)u(x)lna nói riêng ta có (lnu(x))′=u′(x)u(x)
HỆ QUẢ
a) (ln|x|)′=1x với mọi x≠0
b) Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị khác 0 và số đạo hàm trên J thì
(ln|u(x)|)′=u′(x)u(x) với mọi x∈J
4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit
a) Hàm số y=ax
GHI NHỚ
Hàm số y=ax
* Có tập xác định là Rvà tập giá tri giá khoảng (0;+∞)
* Đồng biến trên R khi a > 1 nghịch biến trên R khi 0<a<1.
*Có đồ thị
- Đi qua điểm (0;1)
- Nằm ở phía trên trục hoành,
- Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
Đồ thị có một trong hai dạng nêu ở hình vẽ dưới đây:
b. Hàm số y=logax
Bảng kết quả khảo sát hàm sốy=logax trang 108
GHI NHỚ:
Hàm số y=logax
• Có tập hợp xác định là khoảng (0;+∞) và tập giá trị là R
• Đồng biến trên khoảng (0;+∞)khi a > 1 , nghịch biến trên (0;+∞) khi 0<a<1;
• Có đồ thị
- Đi qua điểm (1;0),
- Nằm ở bên phải trục tung,
- Nhận trục tung làm tiệm cận đứng
|