|
|
Với $a = 0$ hoặc $b = 0$, bất đẳng thức đúng. Giả sử $0 < a \le b,$ vẫn mất tính tổng quát, ta có $0 < \frac{a}{b} \le 1$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow 0 < {\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} \le {\left( {\frac{a}{b}} \right)^y} \Rightarrow 1 + {\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} \le 1 + {\left( {\frac{a}{b}} \right)^y}\\
\Rightarrow {\left[ {1 + {{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}} \right]^{\frac{1}{y}}} \le {\left[ {1 + {{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^y}} \right]^{\frac{1}{y}}}\,\,\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array}$
Vì $1 + {\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} > 1\,$ và $0 < \frac{1}{x} < \frac{1}{y}\,$ nên ${\left[ {1 + {{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}} \right]^{\frac{1}{x}}} \le {\left[ {1 + {{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}} \right]^{\frac{1}{y}}}\,\,\,\,\,\,(3)$
Áp dụng tính bắc cầu, từ $(2)$ và $(3)$ ta suy ra:
$\begin{array}{l}
{\left[ {1 + {{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}} \right]^{\frac{1}{x}}} \le {\left[ {1 + {{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^y}} \right]^{\frac{1}{y}}}\\
\Rightarrow {\left[ {\frac{{{a^x} + {b^z}}}{{{b^x}}}} \right]^{\frac{1}{x}}} \le {\left[ {\frac{{{b^y} + {a^y}}}{{{b^y}}}} \right]^{\frac{1}{y}}}\\
\Rightarrow {\left( {{a^x} + {b^x}} \right)^{\frac{1}{x}}} \le {\left( {{a^y} + {b^y}} \right)^{\frac{1}{y}}}
\end{array}$
(đpcm)
|