Bài toán tìm điều kiện thỏa phương trình lượng giác.

Question

$\fbox{Bài toán.}$ Tìm $m$ để các phương trình sau có nghiệm:
$a)\,\sin^4x+\cos^4x+m\sin x\cos x=\dfrac{1}{2}\\b)\,\dfrac{3}{\sin^2x}+3\tan^2x+m\left(\tan x+\cot x\right)-1=0$

score 3 · Answer 1

b)
Ta có:
$\frac{3}{\sin^2x}+3\tan^2x+m(\tan x+\cot x)-1=0$
$\Leftrightarrow 3(\tan^2x+\cot^2x)+m(\tan x+\cot x)+2=0$
Đặt: $t=\tan x+\cot x$
$\Rightarrow t^2=\tan^2x+\cot^2x+2\Rightarrow \tan^2x+\cot^2x=t^2-2$
Lại có $t^2=\tan^2x+\frac{1}{\tan^2x}+2\ge4\Rightarrow |t|\ge2$
Phương trình trở thành:
$3(t^2-2)+mt+2=0\Leftrightarrow 3t^2+mt-4=0$
Cách 1:
Ta có: $m=\frac{4-3t^2}{t}$
Đặt: $f(t)=\frac{4-3t^2}{t}=\frac{4}{t}-3t, |t|\ge2$
Ta có: $f'(t)=-\frac{4}{t^2}-3<0$
Lập bảng biến thiên ta được: $|m|\ge4$
Vậy: $|m|\ge4$

Cách 2:
Đặt: $f(t)=3t^2+mt-4$
Ta có: $\Delta=m^2+48>0$ suy ra $f(t)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $t_1,t_2$.
*) Nếu $f(-2)\le0\Leftrightarrow m\ge4$, phương trình $f(t)=0$ có nghiệm $t\le-2$, thỏa mãn.
*) Nếu $f(2)\le0\Leftrightarrow m\le-4$, phương trình $f(t)=0$ có nghiệm $t\ge2$, thỏa mãn.
*) Nếu $f(2)>0,f(-2)>0\Leftrightarrow -4<m<4$.
Phương trình $f(t)=0$ có nghiệm $|t|\ge2$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{t_1+t_2}{2}\le-2\\ \frac{t_1+t_2}{2}\ge2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \frac{-m}{3}\le-2\\ \frac{-m}{3}\ge2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m\ge6\\ m\le-6 \end{array} \right.$, loại.
Vậy: $|m|\ge4$

score 3 · Answer 2

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

a)
Ta có:
$\sin^4x+\cos^4x+m\sin x\cos x=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 1-2\sin^2x\cos^2x+m\sin x\cos x=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2-\sin^22x+m\sin2x=1$
$\Leftrightarrow \sin^22x-m\sin2x-1=0$
Đặt: $\sin 2x=t,t\in[-1,1]$, suy ra: $t^2-mt-1=0$
Cách 1:
Ta thấy $t=0$ không là nghiệm của phương trình
$\Rightarrow m=\frac{t^2-1}{t}$
Xét: $f(t)=\frac{t^2-1}{t}=1-\frac{1}{t}$
Ta có: $f'(t)=\frac{1}{t^2}>0$
Suy ra $f(t)$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-1,0)$ và $(0,1)$.
Lập bảng biến thiên ta được: $m\in\mathbb{R}$
Vậy $\forall m\in\mathbb{R}$, phương trình đều có nghiệm.

Cách 2: (không dùng đạo hàm)
Ta có: $\Delta=m^2+4>0\Rightarrow $ phương trình có 2 nghiệm $t_1, t_2$.
Mà: $t_1t_2=1\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} |t_1|\le1\\|t_2|\le1 \end{array} \right.$, thỏa mãn.
Suy ra: $\forall m\in\mathbb{R}$, phương trình đều có nghiệm.

lịch sử