Dễ thấy giá trị nhỏ nhất của P là 0 khi x=y=0Bây giờ ta sẽ tìm Max
PVới trường hợp x,y không cùng bằng 0 ta sẽ chứng minh x2+y2=1
Thật vậy
Nếu x=0 thì y=y2⇒y=1
Nếu y=0 thì x=x2⇒x=1
Nếu x,y cùng dương
0=x√1−y2−x2+y√1−x2−y2
=x(√1−y2−x)+y(√1−x2−y)
Nếu x2+y2 lớn hơn 1 thì √1−y2−x,√1−x2−y đều dương , vô lí
Nếu x2+y2 nhở hơn 1 cũng suy ra vô lí
Vậy x2+y2=1
Bạn có thể áp dụng phương pháp điểm rơi cho Cauchy hoặc Bunhia để tìm Max P , ở đây mình sẽ dùng Bunhia
97=(x2+y2)(81+16)≥(9x+4y)2⇒√97≥9x+4y
97√97≥(9x+4y)(81+16)≥(27√x+8√y)2
Vậy P≤9734 , dấu bằng có ⇔{x2+y2=1x9=y4
⇔x=9√97,y=4√97