HSG

Question

1,cho a,b,c là các số thực dương. chứng minh rằng:

$(1+\frac{1}{a})^4+(1+\frac{1}{b})^4+(1+\frac{1}{c})^4 \geq 3(1+\frac{3}{2+abc})^4$

2,cho các số không âm x,y,z thỏa mãn $x+y+z \leq 3$

Tìm giá trị lớn nhất của $A=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

3, cho: $xyz+yzt+ztx+txy=x+y+z+t+\sqrt{2014}$

Chứng minh: $(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)(t^2+1) \geq 2014$

score 1 · Answer 1

Bố đề:$(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$

Từ đó ta có bđt sau $27(a^4+b^4+c^4)\geq (a+b+c)^4$

$\Rightarrow 27[(1+\frac{1}{a})^4+(1+\frac{1}{b})^4+(1+\frac{1}{c})^4]\geq (1+1+1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^4$

Từ đó ta phải chứng minh:$(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c})^4\geq 3^4(1+\frac{3}{2+abc})^4$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{1+1+abc}$

Nhân chéo $\Rightarrow (\frac{1}{a}+...)(1+1+abc)\geq9$(Đúng theo Cosi)

Vậy ta có đpcm

score 1 · Answer 2

Từ điều kiện:$\Rightarrow x(yz-1)+t(yz-1)+y(tx-1)+z(tx-1)=\sqrt{2014}$

$\Leftrightarrow (yz-1)(x+t)+(tx-1)(y+z)=\sqrt{2014}(1)$

Theo CBS thì $(1)\leq \sqrt{[(yz-1)^2+(y+z)^2][(x+t)^2+(xt-1)^2]}$

$\Rightarrow \sqrt{2014}\leq \sqrt{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)(t^2+1)}$

Do đó có đpcm

score 1 · Answer 3

Câu 2:

Ta sẽ chứng minh với mọi $x\geq0$ thì $\sqrt{\frac{1+x^2}{2}}+\sqrt{x}\leq1+x$

Thật vậy chuyển vế và bình phương ta được:

$\frac{1+x^2}{2}\leq (x+1-\sqrt{x})^2$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^4\geq 0$

$\Rightarrow A\leq \sqrt{2}(3+x+y+z)-\sqrt{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

$\Rightarrow A\leq \sqrt{2}(3+3)+(3-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

Mà $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{(1+1+1)(x+y+z)}=3$

Vậy $Max A=3\sqrt{2}+9$.Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

3 Đáp án