đề thi gvg

Question

a/ cho x, y là các số thực dương thỏa mãn $x+y=1$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $A=(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})$

b/ chứng minh rằng: $\left| {\frac{m}{n}-\sqrt{2}} \right| \geq \frac{1}{n^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$, với mọi số nguyên dương m,n.

score 1 · Answer 1

a. Ta có:

$1=x+y\ge2\sqrt{xy} \Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}$

$A=x^2y^2+2+\dfrac{1}{x^2y^2}$

$=256x^2y^2+\dfrac{1}{x^2y^2}-255x^2y^2+2$

$\ge2\sqrt{256x^2y^2.\dfrac{1}{x^2y^2}}-255.\dfrac{1}{16}+2=\dfrac{289}{16}$

Vậy $\min A=\dfrac{289}{16} \Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$

1 Đáp án