Điều kiện đã cho tương đương với $x^3+x+2=(2y-1)^3+(2y-1)+2$ $(*)$.Vì hàm số $f(t)=t^3+t+2,\forall t\in R$ có $f'(t)=2t^2+1>0,\forall t\in R$ nên nó đồng biến trên $R$. Do đó $(*)$ tương đương với $f(x)=f(2y-1)$, hay $x=2y-1$.
Từ kết quả trên suy ra $P=(2y-1)^2-y^2-3y=3y^2-7y+1=3(y-\frac{7}{6})^2-\frac{37}{12}\geq -\frac{37}{12}$. Dấu bằng xảy ra khi $(x;y)$ thỏa mãn $x=2y-1$ và $y=\frac{7}{6}$; suy ra $(x;y)=(\frac{4}{3};\frac{7}{6})$.
Suy ra $P$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-\frac{37}{12}$.