Biến đổi giả thiết của bài toán ta được:$(ey)^{2}-11ey-x^{2}-5x+24=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}ey=3-x\\ ey=x+8\\ \end{gathered} \right.$
Ta dễ dàng loại được nghiệm $ey=x+8$ vì $x,y\in (0;2)$. Suy ra:
$\sqrt{\ln x}+\sqrt{1+\ln y}=\sqrt{\ln x}+\sqrt{\ln (3-x)}\leq \sqrt{(1+1)(\ln x+\ln (3-x))}$
$=\sqrt{2\ln x(3-x)}=\sqrt{2\ln \left(\frac{9}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}\right)}\leq 2\sqrt{\ln3-\ln2}$.
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{3}{2} \\ y=\frac{3}{2e} \end{cases}$.
Vậy $\max (\sqrt{\ln x}+\sqrt{1+\ln y})=2\sqrt{\ln3-\ln2}$.