Biến đổi giả thiết của bài toán ta được:(ey)2−11ey−x2−5x+24=0⇔[ey=3−xey=x+8
Ta dễ dàng loại được nghiệm ey=x+8 vì x,y∈(0;2). Suy ra:
√lnx+√1+lny=√lnx+√ln(3−x)≤√(1+1)(lnx+ln(3−x))
=√2lnx(3−x)=√2ln(94−(x−32)2)≤2√ln3−ln2.
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{3}{2} \\ y=\frac{3}{2e} \end{cases}.
Vậy \max (\sqrt{\ln x}+\sqrt{1+\ln y})=2\sqrt{\ln3-\ln2}.