Bài 100220

Question

Cho họ đường cong bậc ba $(Cm)$ có phương trình là $y = -x^3 + mx^2 - m$
$a.$ Với $m=3$. Gọi $A$ và $B$ là 2 điểm cực đại và cực tiểu của $(C)$ và $M$ là điểm bất kỳ trên cung $AB$ với $M$ khác $A, B$. Chứng minh rằng trên $(C)$ ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại $M$ với $(C)$.
$b.$ Định $m$ để $(Cm)$ có $2$ điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua $2$ điểm cực trị.

score 0 · Answer 1

a.
Với m=3 thì $y=-y^3+3x^2-3$.
Gọi n là hoành độ của M.
Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = 2 nên $0 < n < 2 ; y' = – 3x^2 + 6x $
do đó hệ số góc của tiếp tuyến tại M là $k_1 = – 3n^2 + 6n \in (0, 3]$ (vì $n \in (0, 2)).$
Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại M có hệ số góc là $k_2 = - \frac{1}{{{k_1}}} $ (với $0 < k_1 \leq 3).$
Hoành độ của tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến M là nghiệm của $- 3x^2 + 6x=- \frac{1}{{{k_1}}} (= k_2) \Leftrightarrow 3x^2 – 6x - \frac{1}{{{k_1}}} = 0. $
Phương trình này có $a.c < 0, \forall k_1 \in (0, 3]$ nên có 2 nghiệm phân biệt, $\forall k_1 \in (0, 3]. $
Vậy trên (C) luôn có 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến tại M.

b. Hàm có cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow PT 3x^2 = 2mx$ có 2 nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow x = 0$ và $x = \frac{{2m}}{3} $ là 2 nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow m\neq 0$.
Khi đó, ta có: $ y = \left( {\frac{2}{9}{m^2}x - m} \right) + \left( {\frac{1}{3}x - \frac{1}{9}m} \right)y' $
và phương trình đường thẳng qua 2 cực trị là: $ y = \frac{2}{9}{m^2}x - m $ (với $m \neq 0$).

Bài 100220

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100220

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan