* Số có $4$ chữ số khác nhau.
Số cách chọn chữ số hàng nghìn: $7$ cách.
Số cách chọn $3$ chữ số còn lại $A^{3}_{7}=210$.
Vậy số các số có $4$ chữ số khác nhau cần tìm là: $7.210=1470$ (số).
* Số các số chẵn có $4$ chữ số khác nhau.
Vì số cần tìm là chẵn nên chữ số tận cùng có thể là: $0; 2; 4; 6$.
+ Nếu chữ số tận cùng khác $0$ thì số các số cần tìm:
$3.6.A^{2}_{6}=540$ (số).
+ Nếu chữ số tận cùng là $0$ thì số các số cần tìm là:
$1.7.A^{2}_{6}=210$ (số).
Vậy số các số chẵn có $4$ chữ số khác nhau cần tìm là:
$540+210=750$ (số).
Nhận xét: Ở đây việc tìm số các số lẻ thực hiện thuận lợi hơn so với việc tìm các số chẵn vì thế đối với bài toán này ta có thể tiến hành tìm các số lẻ từ đó suy ra các số chẵn.
Số các số lẻ có $4$ chữ số khác nhau là: $4.6.A^{2}_{6}=720$.
Vậy số các số chẵn có $4$ chữ số khác nhau cần tìm là:
$1470-720=750$ (số).
* Số các số có $4$ chữ số khác nhau chia hết cho $5$.
Vì số cần tìm chia hết cho $5$ nên chữ số tận cùng có thể là $0$ hoặc $5$.
+ Nếu chữ số tận cùng là $0$ thì số các số có $4$ chữ số khác nhau chia hết cho $5$ là: $1.7.A^{2}_{6}=210$ (số).
+ Nếu chữ số tận cùng là $5$ thì số các số có $4$ chữ số khác nhau chia hết cho $5$ là: $1.6.A^{2}_{6}=180$ (số).
Vậy số các số cần tìm có $4$ chữ số khác nhau chia hết cho $5$ là:
$210+180=390$ (số).
b) Số cách chọn vị trí chữ số $5$ là $4$.
Số cách chọn $3$ chữ số còn lại ( có cả chữ số $0$ đứng đầu ) là $A^{3}_{7}$
Hơn nữa ta lại có: $3.C^{2}_{8}.C^{2}_{5}.C^{1}_{3} + C^{1}_{8}.C^{2}_{5}.C^{1}_{3} + C^{1}_{8}.C^{1}_{5}.C^{2}_{3} = 780$ số có $4$ chữ số khác nhau nhất thiết có mặt chữ số $5$ và chữ số $0$ đứng đầu.
Vậy số các số có $4$ chữ số khác nhau nhât thiết có mặt chữ số $5$ là:
$4.A^{3}_{7} - 3.A^{2}_{6} = 840 - 90 =750$ (số).
c) Vì số cần tìm nhỏ hơn $4000$ nên chữ số hàng nghìn có $3$ cách chọn. Số cách chọn $3$ chữ số còn lại là: $A^{3}_{7}=210$.
Vậy số các số cần tìm có $4$ chữ số khác nhau nhỏ hơn $4000$ là:
$ 3.210=630$ (số).