a) Mỗi cách lấy $3$ quả cầu từ hộp là một chỉnh hợp chập $3$ của $10$. Số các cách lấy đó là: $C^{3}_{10}=120$ (cách).
b) Số cách chọn $2$ quả cầu màu đỏ $C^{2}_{7}=21$.
Số cách chọn $1$ quả cầu màu xanh $C^{1}_{3}=3$.
Vậy số cách lấy để có được $2$ quả cầu màu đỏ là: $21.3=63$ (cách).
c) Để chọn được nhiều nhất $2$ quả cầu đỏ, có các trường hợp sau xảy ra:
+ Có 2 quả cầu đỏ có: $C^{2}_{7}.C^{1}_{3}=63$ (cách).
+ Có 1 quả cầu đỏ có: $C^{1}_{7}.C^{2}_{3}=21$ (cách).
+ Không có quả cầu đỏ nào: $C^{3}_{3}=1$ (cách).
Vậy số cách để lấy được nhiều nhất 2 quả cầu đỏ là:
$63+21+1=85$ (cách).
d) Để lấy được ít nhất một quả cầu đỏ, có các trường hợp sau:
+ Có $1$ quả cầu đỏ có: $C^{1}_{7}.C^{2}_{3}=21$ (cách).
+ Có $2$ quả cầu đỏ có: $C^{2}_{7}.C^{1}_{3}=63$ (cách).
+ Có $3$ quả cầu đỏ có: $C^{3}_{7}=35$ (cách).
Vậy số cách để lấy được ít nhất một quả cầu đỏ là:
$21+63+35=119$ (cách).
Nhận xét: Để tính số cách lấy được ít nhất một quả cầu đỏ ngoài cách trên ta có thể thực hiện:
- Tìm số cách lấy không có ít nhất một quả cầu đỏ ( tức là cả ba đều xanh): $C^{3}_{3}=1$.
-Suy ra số cách lấy để có được ít nhất một quả cầu đỏ là:
$C^{3}_{10} - C^{3}_{3}=120-1=119$ (cách).