Bài 100919

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông canh $a$, $SA \bot \left( {ABCD} \right),SA = a\sqrt 2$. Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc $ACM = \alpha$. Hạ $SN \bot CM$
$1$. Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo $a$ và $\alpha $
$2$. Hạ $AH \bot SC,AK \bot SN$. Chứng minh rằng $SC \bot \left( {AHK} \right)$ và tính độ dài đoạn $HK$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 11:08:03 AM

$1. a)$ Theo định lý $3$ đường vuông góc $AN \bot CM$, suy ra $N$ luôn thuộc đường tròn, đường kính $AC$ trong mặt phẳng $ABCD$
$b)$ Tam giác $CAN$ ( vuông tại $N$) có $CN = a\sqrt 2 c{\rm{os}}\alpha ;AN = a\sqrt 2 \sin \alpha$ nên ${V_{SACN}} = \frac{1}{3}SA.S_{ACN} = \frac{{\sqrt 2 }}{6}.{a^3}\sin 2\alpha$

$2. a)$ $SC \bot AH$ (giả thiết $(1)$)
Do $CM \bot \left( {SAN} \right) \Rightarrow AK \bot CM$. Mà $AK \bot SN \Rightarrow AK \bot \left( {SCN} \right) \Rightarrow AK \bot SC \left( 2 \right)$
Từ $(1)$ và $(2)$ $ \Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right)$
$b)$ Các tam giác $SHK$ và $SNC$ đồng dạng nên suy ra $\frac{{HK}}{{SH}} = \frac{{NC}}{{SN}}\left( 3\right)$
Do $AN = a\sqrt 2 \sin \alpha$, từ tam giác vuông $SAN$ $\Rightarrow A = {90^0} \Rightarrow SN = a\sqrt 2 .\sqrt {1 + {{\sin }^2}\alpha }$
Trong tam giác $SAC$ ta có $SH = \frac{{S{A^2}}}{{SC}} = a$
Từ $(3)$ $ \Rightarrow HK = \frac{{a\cos \alpha }}{{\sqrt {1 + {{\sin }^2}\alpha } }}$

Bài 100919

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100919

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan