Bài 112624

Question

Cho hai mặt phẳng

$(P), (Q)$ vuông góc với nhau có giao tuyến là

$\Delta$ . Trên

$\Delta$ lấy hai điểm

$A,B$ sao cho

$AB=a$ . Trong mặt phẳng

$(P)$ lấy điểm

$C$ , trong

$(Q)$ lấy điểm

$D$ sao cho

$AC,BD$ cùng vuông góc với

$\Delta$ . Giả sử

$AC=BD=AB$ . Chứng minh rằng bốn điểm

$A,B,C,D$ nằm trên một mặt cầu và tìm bán kính của hình cầu ấy.

score 1 · Answer 1

Do

$(P)\bot (Q); (P)\cap (Q)=\Delta$ ,
mà

$AC\bot \Delta\Rightarrow AC\bot (Q)\Rightarrow AC\bot AD$ .
Tương tự ta có

$DB\bot BC$ .

Vì thế gọi

$I$ là trung điểm của

$CD$ , thì trong các tam giác vuông

$CAD,CBD$ ta có:

$IC=ID=IA; IC=ID=IB$ .
Suy ra

$IA=IB=IC=ID$ , tức là bốn điểm

$A,B,C,D$ cùng nằm trên một mặt cầu tâm

$I$ bán kính

$R=\frac{1}{2}CD (1)$
Ta có:

$CD^2=CA^2+AD^2=CA^2+BA^2+BD^2=3a^2 (2)$ .
Từ

$(1), (2)$ suy ra

$R=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

1 Đáp án