Bài 100988

Question

Cho đường thẳng $(D): x - \sqrt {2} y + 2 = 0 $ và elip (E): $ {x^2 \over 8} + {y^2 \over 4} = 1 $ . Giả sử đường thẳng $(D)$ cắt elip $(E)$ tại $2$ điểm $B, C. $
$a.$ Tìm $A$ thuộc $(E)$ để tam giác $ABC$ cân
$b.$ Tìm điểm $A$ thuộc $(E)$ để diện tích tam giác $ABC$ lớn nhất.

score 0 · Answer 1

(D): $ x - \sqrt 2 y + 2 = 0 $ và (E): $ \frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1 $
a. Tọa độ giao điểm của (D) và (E) là nghiêm của hệ phương trình:
$ \left\{ \begin{array}{l}
x - \sqrt 2 y + 2 = 0\\
\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1
\end{array} \right. $ (I) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt 2 y - 2\\
\frac{{{{\left( {\sqrt 2 y - 2} \right)}^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt 2 y - 2\\
3{y^2} - 2\sqrt 2 y - 2 = 0
\end{array} \right. $
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt 2 y - 2\\
\left[ \begin{array}{l}
y = \sqrt 2 \\
y = \frac{{ - \sqrt 2 }}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = \sqrt 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = - \frac{8}{3}\\
y =\frac{{ - \sqrt 2 }}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right. $$ \Rightarrow B\left( {0;\sqrt 2 } \right) $ và $ C\left( { - \frac{8}{3};\frac{{ - \sqrt 2 }}{3}} \right) $
Phương trình tham số của (E) là: $ \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\sqrt 2 \sin t\\
y = 2\cos t
\end{array} \right.;t \in \left[ { - \pi ;\pi } \right] $
Điểm $ A \in \left( E \right) \Rightarrow A\left( {2\sqrt 2 \sin t;y = 2\cos t} \right) $ nên ta có:
$ A{B^2} = 8{\sin ^2}t + {\left( {2\cos t - \sqrt 2 } \right)^2};A{C^2} = {\left( {2\sqrt 2 \sin t + \frac{8}{3}} \right)^2} + \left( {2\cos t + \frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right);$
$B{C^2} = {\left( {\frac{8}{3}} \right)^2} + {\left( {\sqrt 2 + \frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} = \frac{{32}}{3} $
Từ điều kiện $\Delta ABC $ cân, ta xét các khả năng xảy ra cân tại A, B, C ta thiết lập các phương trình ẩn t, ta suy ra được các đáp số cần tìm.
b. $ {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {BC} \right| . d\left( {A/(D)} \right) $ $ = \frac{1}{2}\frac{{4\sqrt 6 }}{3}\frac{{\left| {2\sqrt 2 \sin t - 2\sqrt 2 \cos t + 2} \right|}}{{\sqrt 3 }} $ =$ \frac{8}{3}\left| {\sin t - \cos t - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right| $

$= \frac{8}{3}\left| {\sqrt 2 \sin \left( {t - \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right| \le \frac{8}{3}\left( {\left| {\sqrt 2 \sin \left( {t - \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \le 4\sqrt 2 $
Dấu = xảy ra khi $ \sqrt 2 \sin \left( {t - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow t = 0 $ . Khi đó $ A\left( {0;2} \right) $.

Bài 100988

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100988

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan