Bài 101004

Question

Cho hình chữ nhật $ABCD$ ($AC$ là đường chéo) và $ABEF$ ($AE$ là đường chéo) không cùng nằm trong một mặt phẳng và thỏa mãn các điều kiện: $AB = a;AD = AF = a\sqrt 2 $. Đường thẳng $AD$ vuông góc với đường thẳng $BF$. Gọi $HK$ là đường vuông góc chung của $AC$ và $BF$ ($H$ thuộc $AC$, $K$ thuộc $BF$).
$1$. Gọi $D$ là giao điểm của đường thẳng $DF$ với mặt chứa $AC$ và song song với $BF$. Tính tỉ số $\frac{{DI}}{{DF}}$
$2$. Tính độ dài $HK$
$3$. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện $ABHK$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 2:43:10 PM

$1$. Gọi $E’$ là giao điểm của đường thẳng $EF$ và đường thẳng đi qua $A$ song song với $BF$. Khi đó mặt phẳng $(ACE’)$ chứa $AC$ và song song với $BF$ nên giao điểm $I$ của $E’C$ với $DF$ là giao điểm của $DF$ với mặt phẳng $(ACE’)$. Vì $E’F = DC$ nên $ID = IF$ hay $ID = IF = 1$

$2$. Do giả thiết $AC$ vuông góc với $BF$ nên mặt phẳng qua $BF$ cắt vuông góc đường thẳng $AC$ tại điểm $H$ cần tìm. Vậy $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ xuống đường thẳng $AC$.
Đường thẳng $BH$ cắt $AD$ tại $J$ thì các tam giác $ABJ$, $BCA$ đồng dạng nên $\frac{{{\rm{A}}J}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{BC}}$ thì ${\rm{A}}J = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Vậy $J$ là trung điểm của $AD$ và $H$ là trọng tâm của tam giác $ABD$.
Ta có $B{J^2} = B{A^2} = {\rm{A}}{J^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}$nên
$BJ = \frac{{a\sqrt 6 }}{2};BH = \frac{2}{3}BJ = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$
$FJ$ vuông góc với $AC$ và vuông góc với $AB$ nên $FJ$ vuông góc với $AD$. Vậy $AFD$ là tam giác đều và $FJ = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Do $BJ = FJ, BJ$ vuông góc $FJ$ nên $BFJ$ vuông góc tại $J$. Điểm $K$ cần tìm là hình chiếu vuông góc của $H$ xuống $BF$ nên từ đó có:
Tam giác $BHK$ vuông cân tại $K$, $HK = \frac{{BH}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

$3$. Gọi $r$ là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện $ABHK$ thì $r = \frac{{3V}}{S}$, $V$ là thể tích khối tứ diện, $S$ là tổng diện tích các mặt của nó. Ta có
$V = \frac{1}{3}AH.S_{\Delta BHK} = \frac{1}{3}.\frac{{AC}}{3}.S_{\Delta BHK}= \frac{{a\sqrt 3 }}{9}\left( {\frac{1}{2}H{K^2}} \right) = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{54}}$
$S_{\Delta AHK}= \frac{1}{2}AK.HK = \frac{{{a^2}}}{6};S_{\Delta ABK} = \frac{1}{3}S_{\Delta ABF} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}$
$S_{\Delta ABH}= \frac{1}{2}AH.BH = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}$
Vậy $S = 2\frac{{{a^2}}}{6} + 2\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6} = \frac{{{a^2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{3}$, từ đó $r = \frac{{a\sqrt 3 }}{{6\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}$

Bài 101004

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101004

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan