Bài 101024

Question

Trên mặt phẳng tọa độ cho Parabol $(P)$ và đường thẳng $d$ có phương trình:
$(P):y^2 = 2x ;d: 2my - 2x + 1 = 0.$
a. Chứng minh rằng : Với mọi $m, d$ luôn đi qua tiêu điểm $F$ của $(P)$ và cắt $(P)$ tại $2$ điểm $M, N$ phân biệt.
b. Tìm quỹ tích trung điểm $I$ của đoạn $MN$ khi m thay đổi.

score 0 · Answer 1

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

a. Vì: $ {y^2} = 4px \Rightarrow p = \frac{1}{2} \Rightarrow F(\frac{1}{2};0) $ . Thay vào ta có: $ 2m.0 - 2.\frac{1}{2} + 1 = 0 \Rightarrow F \in d \forall M$
Tung độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của phương trình:
$ \begin{array}{l}
{y^2} = 2my + 1 \Leftrightarrow {y^2} - 2my - 1 = 0\\
\Delta ' = {m^2} + 1 \ge 1 > 0 \Rightarrow (P) \cap d = M,N(M \ne N)
\end{array} $

b. Vì M,N thuộc d nên trung điểm I của chúng cũng thuộc d nên:

$ 2m{y_I} - 2{x_I} + 1 = 0 $
Nhưng: $ \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = {y_I} = m \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = m{y_I} + \frac{1}{2}\\
m = {y_I}
\end{array} \right. \Rightarrow {x_I} = y_I^2 + \frac{1}{2} $
Vậy quỹ tích trung điểm I là parabol có phương trình: $ x = {y^2} + \frac{1}{2} $