Bài 101024

Question

Trên mặt phẳng tọa độ cho Parabol

$(P)$ và đường thẳng

$d$ có phương trình:

$(P):y^2 = 2x ;d: 2my - 2x + 1 = 0.$
a. Chứng minh rằng : Với mọi

$m, d$ luôn đi qua tiêu điểm

$F$ của

$(P)$ và cắt

$(P)$ tại

$2$ điểm

$M, N$ phân biệt.
b. Tìm quỹ tích trung điểm

$I$ của đoạn

$MN$ khi m thay đổi.

score 0 · Answer 1

a. Vì:

${y^2} = 4px \Rightarrow p = \frac{1}{2} \Rightarrow F(\frac{1}{2};0)$ . Thay vào ta có:

$2m.0 - 2.\frac{1}{2} + 1 = 0 \Rightarrow F \in d \forall M$
Tung độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của phương trình:

$\begin{array}{l} {y^2} = 2my + 1 \Leftrightarrow {y^2} - 2my - 1 = 0\\ \Delta ' = {m^2} + 1 \ge 1 > 0 \Rightarrow (P) \cap d = M,N(M \ne N) \end{array}$

b. Vì M,N thuộc d nên trung điểm I của chúng cũng thuộc d nên:

$2m{y_I} - 2{x_I} + 1 = 0$
Nhưng:

$\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = {y_I} = m \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = m{y_I} + \frac{1}{2}\\ m = {y_I} \end{array} \right. \Rightarrow {x_I} = y_I^2 + \frac{1}{2}$
Vậy quỹ tích trung điểm I là parabol có phương trình:

$x = {y^2} + \frac{1}{2}$