Bài 101243

Question

Cho đường thẳng $(d)$ : $\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = -1\\
z = - t
\end{array} \right.$ và $2 mp (P) : x + 2y + 2z + 3 = 0$ và $(Q) : x + 2y + 2z + 7 = 0$
$a.$ Viết phương trình hình chiếu của $(d)$ trên $(P) $
$b.$ Lập phương trình mặt cầu có tâm $I$ thuộc đường thẳng $(d)$ và tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$

score 0 · Answer 1

a. + Đường thẳng d qua M(0; -1; 0) và có VTCP $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;0; - 1} \right)$
+ Mp (P) có VTPT : $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2;2} \right)$
Do đó mặt phẳng (R) chứa (d) và vuông góc với (P) có VTPT : $\overrightarrow {{n_R}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {2; - 3;2} \right)$
Thay tọa độ x, y, z từ phương trình của (d) vào phương trình của (P) ta có:
t - 2 - 2t + 3 = 0 hay t =1 . Suy ra (d) cắt (P) tại K(1; -1; -1)
Hình chiếu (d’) của (d) trên (P) đi qua K và có VTCP: $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_R}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {10;2; - 7} \right)$
Vậy (d’) có phương trình: $\frac{{x - 1}}{{10}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 7}}$

b. Lấy I(t; -1; -t) thuộc (d) , ta có:
$d_1 = d(I, (P)) = \frac{{\left| {1 - t} \right|}}{3} ; d_2 = d(I, (Q)) = \frac{{\left| {5 - t} \right|}}{3}$
Do mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) và (Q) nên: $R = d_1 = d_2 \Leftrightarrow $|1 - t | = | 5 - t | $ \Leftrightarrow t = 3$
Suy ra : $R = \frac{2}{3} $ và I = ( 3; -1; -3 ) .
Do đó mặt cầu cần tìm là: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}$

Bài 101243

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101243

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan