Bài 101292

Question

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ cho $4$ điểm $A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình:$x + y + z - 2 = 0$. Gọi $A’$là hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $Oxy$. Gọi $( S)$ là mặt cầu đi qua $4$ điểm $A’, B, C, D$. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn $(C)$ là giao của $(P)$ và $(S)$.

score 0 · Answer 1

Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0)
Giả sử phương trình mặt cầu ( S) đi qua A’, B, C, D là:
${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0,\quad \quad \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)$
Vì $A',B,C,D \in \left( S \right)$ nên ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}
2a - 2b + d + 2 = 0\\
2a + 6b + 4c + d + 14 = 0\\
8a + 6b + 4c + d + 29 = 0\\
8a - 2b + 4c + d - 21 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - \frac{5}{2}\\
b = - 1\\
c = - 1\\
d = - 1
\end{array} \right.$
Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: $x^2+y^2+z^2-5x-2y-2z-1=0$.
(S) có tâm $I\left( {\frac{5}{2};1;1} \right)$, bán kính $R = \frac{{\sqrt {29} }}{2}$
+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đường tròn ( C)
+) Gọi ( d) là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P).
(d) có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow n \left( {1;1;1} \right)$
Suy ra phương trình của d:$\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{2} + t\\
y = 1 + t\\
z = 1 + t
\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{5}{2} + t;1 + t;1 + t} \right)$
Do $H = \left( d \right) \cap (P)$ nên:$\frac{5}{2} + t + 1 + t + 1 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow 3t = - \frac{5}{2} \Leftrightarrow t = - \frac{5}{6}$
$ \Rightarrow H\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{6};\frac{1}{6}} \right)$
$IH = \sqrt {\frac{{75}}{{36}}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}$ , (C) có bán kính $r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{4} - \frac{{75}}{{36}}} = \sqrt {\frac{{31}}{6}} = \frac{{\sqrt {186} }}{6}$

Bài 101292

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101292

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan