Bài 101444

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc

$Oxyz$ cho điểm

$I(1, 2, -2)$ và mặt phẳng

$(P)$

$2x + 2y + z + 5 = 0$

$1$ . Lập phương trình mặt cầu

$S$ tâm

$I$ sao cho giao điểm của

$S$ và

$(P)$ là đường tròn có chu vi bằng

$8\pi$

$2$ . Chứng minh rằng mặt cầu

$S$ nói trong phần

$1$ tiếp xúc với đường thẳng

$\Delta :2x - 2 = y + 3 = z$

$3$ . Lập phương trình mặt cầu chứa đường thẳng

$A$ nếu trong phần

$2$ và tiếp xúc với mặt cầu

$S$ tìm được ở phần

$1$ .

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/26/2012 2:32:34 PM

$1$ .

$I\left( {1,2, - 2} \right)$ cách

$\left( P \right):2x + 2y + z + 5 = 0$ một khoảng cách là

${h_1} = \frac{{|2 + 4 - 2 + 5|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 3$
Đường tròn chu vi

$8\pi$ có bán kính

$r = 4$ . Gọi

$R$ là tâm mặt cầu cần tìm, ta có phương trình

${R^2} = h_1^2 + {r^2} = {3^2} + {4^2} = {5^2} \Leftrightarrow R = 5$
Mặt cầu S có tâm

$I\left( {1,2, - 2} \right)$ , bán kính

$R = 5$ , suy ra (S) có phương trình

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25$

$2$ . Theo giả thiết ,

$\left( \Delta \right)$ có phương trình

$2x - 2 = y + 3 = z \Leftrightarrow x = t;y = - 5 + 2t;z = - 2 + 2t$
Thế vào phương trình mặt cầu ta được

$t = \frac{5}{3}$
Vì vậy

$\left( \Delta \right)$ và mặt cầu

$(S)$ có

$1$ điểm chung duy nhất ở tọa độ

$A$

$\left( {x = \frac{5}{3},y = - \frac{5}{3},z = \frac{4}{3}} \right)$
Nghĩa là

$(S)$ tiếp xúc với

$\left( \Delta \right)$

$3$ . Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng vuông góc với

$IA$ tại

$A$ , cũng là mặt phẳng qua A

$\left( {\frac{5}{3}, - \frac{5}{3},\frac{4}{3}} \right)$
Và có vecto pháp tuyến

$\overrightarrow {IA} \left( {\frac{2}{3},\frac{{ - 11}}{3},\frac{{10}}{3}} \right)$ hay vecto

$\overrightarrow v \left( {2, - 11,10} \right)$ . Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình

$2x - 11y + 10z - 35 = 0$

Bài 101444

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101444

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan