|
|
* Tại $x > 0$:
$\begin{array}{l}
f(x) = {x^2}\ln x - \frac{{{x^2}}}{2}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{f'}\left( x \right) = {\left( {{x^2}} \right)' }\ln x + {x^2}{\left( {\ln x} \right)'} - {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)' }\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{f' }\left( x \right) = 2x\ln x + x - x = 2x\ln x
\end{array}$
* Tại $x = 0$:
- Hàm số không xác định khi $x < 0$ nên không có đạo hàm bên trái của $0$.
- Đạo hàm bên phải của $0$ :
Ta có : $f(0) = 0$. Cho biến số $2$ giá trị ${x_0} = 0$ và ${x_1} = x,\,\,x > 0$
Ta có : $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\ln x - \frac{x}{2}} \right) = 0$
Hàm số có đạo hàm bên phải $0$ là ${f' }({0^ + }) = 0$
Vậy $\left\{ \begin{array}{l}
{f' }(x) = 2x\ln x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,\,x > 0\\
{f' }(0) = 0 khi x=0
\end{array} \right.$
|