Bài 101904

Question

CMR : trong tam giác $ABC$, hai hệ thức sau tương đương.
$\sin A + \sin B + \sin C = 2\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}} \right)$ và $\frac{1}{{{l_a}}} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

score 0 · Answer 1

Giải
Ta có :

$\sin A + \sin B + \sin C = 2\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}} \right)$

$\Leftrightarrow 4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}=2cos(\frac{B+C}{2})+2sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$

$\Leftrightarrow 2cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos \frac{C}{2}=cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$

$\Leftrightarrow cos\frac{A}{2}=\frac{1}{2} (cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}>0)$

$\Leftrightarrow \frac{2bccos\frac{A}{2}}{b+c}=\frac{bc}{b+c}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{l_{a}}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Đó là (đpcm)

Nhận xét :

Các hệ thức trên đều có trong tam giác $ABC$ với $A = {120^0}$.Vì thế thực ra nó còn tương đương với nhiều hệ thức khác (bạn đọc dễ dàng tìm lấy)