Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện :
ma+mb+mc=32(a+b+c)
CMR :(ma32)(mb32)(mc32)=0

Ta co' : 
               m2a=2b2+2c2a2a
Ta suy ra   m2a+m2b+m2c=34(a2+b2+c2)=(32a)2+(32b)2+(32c)2(1)
Từ (1) và giả thiết suy ra
    a+b+c=a+a2+a22=12a(2+6+2)ma+mb+mc=a32+a64+32a4=14a(23+6+32)32(a+b+c)=14a(23+32+36)ma+mb+mc=32(a+b+c)
mamb+mbmc+mcma=12[(ma+mb+mc)2(m2a+m2b+m2c)]= 32b32c+32b32c+32c32a(3).Bình phương 2 vế của (3),ta có :
m2am2b+m2bm2c+m2cm2a+2mambmc(ma+mb+mc)= 916(b2c2+c2a2+a2b2)+98abc(a+b+c)(). Ta có :
m2am2b+m2bm2c+m2cm2a = (2a2+2b2c2)(2b2+2c2a2)+(2b2+2c2a2)(2c2+2a2b2)+(2c2+2a2b2)(2a2+2b2c2)16
 =916(a2b2+b2c2+c2a2)().Từ ()() ,kết  hợp với giả thiết suy ra :
2mambmc32(a+b+c)=98abc(a+b+c)mambmc=338abc=(32a)(32b)(32c)(4)
Từ (1)(3)(4)  và theo Viet ,ta có {m_a},{m_b},{m_c} và \frac{{\sqrt 3 }}{2}a,\frac{{\sqrt 3 }}{2}b,\frac{{\sqrt 3 }}{2}c cùng là 3 nghiệm của 2 phương trình bậc 3
Không mất tính tổng quát,giả sử a \le b \le c \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}a \le \frac{{\sqrt 3 }}{2}b \le \frac{{\sqrt 3 }}{2}c và {m_a} \ge {m_b} \ge {m_c}
Từ các nhận xét trên suy ra :
{m_a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a,{m_b} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}b,{m_c} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}c
Từ đó suy ra dpcm
Nhận xét :
1/ Lớp tam giác thỏa mãn điều kiện   {m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + b + c) là không rỗng vì ít nhất có tam giác đều thỏa mãn điều kiện đó
2/ Bây gời xét tam giác ABC vuông (B = {90^0}) với BC=a,và trung tuyến AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}
Khi đó c = AB = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}
\begin{array}{l} b = AC = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{\begin{array}{l} 2\\ \end{array}}\\ {m_b} = \frac{1}{2}b = \frac{b}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{\begin{array}{l} 4\\ \end{array}}\\ {m_c} = CN = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{8}} \end{array}
Lúc này ta có
\begin{array}{l} a + b + c = a + \frac{a}{2} + \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{2}a(2 + \sqrt 6  + \sqrt 2 )\\ {m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} + \frac{{a\sqrt 6 }}{4} + \frac{{3\sqrt 2 a}}{4} = \frac{1}{4}a(2\sqrt 3  + \sqrt 6  + 3\sqrt 2 )\\  \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + b + c) = \frac{1}{4}a(2\sqrt 3  + 3\sqrt 2  + 3\sqrt 6 )\\  \Rightarrow {m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + b + c) \end{array}
Như vậy ta chỉ ra rằng 1 lớp tam giác không phải tam giác đều mà vẫn thỏa mãn điều kiện .Bài toán càng có ý nghĩa
3/ Xét tam giác ABC có BC = a;AB = \frac{a}{2};AM = {m_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}
Áp dụng công thức \begin{array}{l} m_a^2 = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}\\  \Rightarrow \frac{{3{a^2}}}{4} = \frac{{2{b^2} + \frac{{{a^2}}}{2} - {a^2}}}{4}\\  \Rightarrow {b^2} = \frac{{7{a^2}}}{4} \Rightarrow b = \frac{{a\sqrt 7 }}{2} \end{array}
Lại có :
   
    \begin{array}{l} {m_a} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}a = 0 \Leftrightarrow m_a^2 = \frac{3}{4}{a^2}\\  \Leftrightarrow 2{b^2} + 2{c^2} - {a^2} = 3{a^2}\\  \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 2{a^2}\\  \Leftrightarrow \cot B + \cot C = 2\cot A \end{array}
\begin{array}{l} m_b^2 = \frac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4} = \frac{{2{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{7{a^2}}}{4}}}{4} \Rightarrow {m_b} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\\ m_c^2 = \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4} = \frac{{2{a^2} + \frac{{7{a^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}}}{4} \Rightarrow {m_c} = \frac{{a\sqrt {21} }}{4}\\  \Rightarrow {m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} + \frac{{a\sqrt 3 }}{4} + \frac{{a\sqrt {21} }}{4} = \frac{1}{4}(2\sqrt 3  + \sqrt 3  + \sqrt {21} )a \end{array}
Mặt khác \begin{array}{l} \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + b + c) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + \frac{{a\sqrt 7 }}{2} + \frac{a}{2}) = \frac{1}{4}(2\sqrt 3  + \sqrt {21}  + \sqrt 3 )a\\  \Rightarrow {m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + b + c) \end{array}
Thêm 1 ví dụ nữa chứng tỏ rằng tồn tại tam giác không đều thỏa mãn hệ thức đã cho
4/ Vấn đề đặt ra liệu có mệnh đề đảo hay không ?Tức là từ hệ thức
({m_a} - \frac{{\sqrt 3 }}{2})({m_b} - \frac{{\sqrt 3 }}{2})({m_c} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}) = 0 có suy ra {m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + b + c) hay không

Thẻ

Lượt xem

895
Chat chit và chém gió
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:50 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:50 PM
  • hoahoa.nhynhay: ..................... 11/5/2018 1:39:52 PM
  • vinhlyle: hi 11/10/2018 8:03:02 PM
  • ๖ۣۜBossღ: 3:00 AM 11/11/2018 10:17:11 PM
  • quanghungnguyen256: sao wweb cứ đăng nhập mãi nhĩ, k trả lời đc bài viết nữa 11/30/2018 4:35:45 PM
  • quanghungnguyen256: web nát r à 11/30/2018 4:36:19 PM
  • quanghungnguyen256: 11/11/2018 h là 30/11. oi web chắt k ai dùng r hả 11/30/2018 4:36:44 PM
  • quanghungnguyen256: rofum ngon thế mà sao admin lại k nâng cấp nhỡ 11/30/2018 4:37:07 PM
  • nguyenlena2611: talk_to_the_hand 12/24/2018 9:24:22 PM
  • nguyenlena2611: big_grinsurpriseblushing 12/24/2018 9:28:35 PM
  • Việt EL: ^^ 2/16/2019 8:37:21 PM
  • Việt EL: he lô he lô 2/16/2019 8:37:34 PM
  • Việt EL: y sờ e ny guan hiar? 2/16/2019 8:38:15 PM
  • Việt EL: èo 2/16/2019 8:38:32 PM
  • Việt EL: éo có ai 2/16/2019 8:40:48 PM
  • dfgsgsd: Hế lô 2/21/2019 9:52:51 PM
  • dfgsgsd: Lờ ôn lôn huyền ..... 2/21/2019 9:53:01 PM
  • dfgsgsd: Cờ ắc cắc nặng.... 2/21/2019 9:53:08 PM
  • dfgsgsd: Chờ im.... 2/21/2019 9:53:12 PM
  • dfgsgsd: Dờ ai dai sắc ...... 2/21/2019 9:53:23 PM
  • dfgsgsd: ờ ưng nưng sắc.... 2/21/2019 9:53:37 PM
  • dfgsgsd: Mờ inh minh huyền.... đờ ep nặng... trờ ai... quờ a sắc.... đờ i.... 2/21/2019 9:54:11 PM
  • nln: winking 2/28/2019 9:02:14 PM
  • nln: big_grin 2/28/2019 9:02:16 PM
  • nln: smug 2/28/2019 9:02:18 PM
  • nln: talk_to_the_hand 2/28/2019 9:02:20 PM
  • nln: Specialise 2/28/2019 9:51:54 PM
  • nlnl: But they have since become two much-love 2/28/2019 10:03:10 PM
  • dhfh: sad 3/2/2019 9:27:26 PM
  • ๖ۣۜNatsu: allo 3/3/2019 11:39:32 PM
  • ffhfdh: reyeye 3/5/2019 8:53:26 PM
  • ffhfdh: ủuutrr 3/5/2019 8:53:29 PM
  • dgdsgds: ujghjj 3/24/2019 9:12:47 PM
  • ryyty: ghfghgfhfhgfghgfhgffggfhhghfgh 4/9/2019 9:34:48 PM
  • gdfgfd: gfjfjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj 4/14/2019 9:53:38 PM
  • gdfgfd: sadsadsadsadsadsad 4/14/2019 9:59:30 PM
  • fdfddgf: trâm anh 4/17/2019 9:40:50 PM
  • gfjggg: a lot of advice is available for college leavers 5/10/2019 9:32:12 PM
  • linhkim2401: big_hug 7/3/2019 9:35:43 AM
  • ddfhfhdff: could you help me do this job 7/23/2019 10:29:49 PM
  • ddfhfhdff: i don't know how to 7/23/2019 10:30:03 PM
  • ddfhfhdff: Why you are in my life, why 7/23/2019 10:30:21 PM
  • ddfhfhdff: Could you help me do this job? I don't know how to get it start 7/23/2019 10:31:45 PM
  • ddfhfhdff: big_grinwhistling 7/23/2019 10:32:50 PM
  • ddfhfhdff: coukd you help me do this job 7/23/2019 10:39:22 PM
  • ddfhfhdff: i don't know how to get it start 7/23/2019 10:39:38 PM
  • huy31012002:9/13/2019 10:43:52 PM
  • huongpha226: hello 11/29/2019 8:22:41 PM
  • hoangthiennhat29: pig 4/2/2020 9:48:11 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:18 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:19 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:20 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:22 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:23 PM
  • cutein111: hello 4/9/2020 9:23:30 PM
  • cutein111: mấy bạn 4/9/2020 9:23:33 PM
  • cutein111: mấy bạn cần người ... k 4/9/2020 9:23:49 PM
  • cutein111: mik sẽ là... của bạn 4/9/2020 9:23:58 PM
  • cutein111: hihi 4/9/2020 9:24:00 PM
  • cutein111: https://www.youtube.com/watch?v=EgBJmlPo8Xw 4/9/2020 9:24:12 PM
  • nhdanfr: Hello 9/17/2020 8:34:26 PM
  • minhthientran594: hi 11/1/2020 10:32:29 AM
  • giocon123fa: hi mọi ngừi :33 1/31/2021 10:31:56 PM
  • giocon123fa: call_me 1/31/2021 10:32:46 PM
  • giocon123fa: không còn ai nữa à? 1/31/2021 10:36:35 PM
  • giocon123fa: toi phải up cái này lên face để mọi người vào chơilaughing) 1/31/2021 10:42:37 PM
  • manhleduc712: hí ae 2/23/2021 8:51:42 AM
  • vaaa: f 3/27/2021 9:40:49 AM
  • vaaa: fuck 3/27/2021 9:40:57 AM
  • L.lawiet: l 6/4/2021 1:26:16 PM
  • tramvin1: . 6/14/2021 8:48:20 PM
  • dothitam04061986: solo ff ko 7/7/2021 2:47:36 PM
  • dothitam04061986: ai muốn xem ngực e ko ạ 7/7/2021 2:49:36 PM
  • dothitam04061986: e nứng 7/7/2021 2:49:52 PM
  • Phương ^.^: ngủ hết rồi ạ? 7/20/2021 10:16:31 PM
  • ducanh170208: hi 8/15/2021 10:23:19 AM
  • ducanh170208: xin chao mọi người 8/15/2021 10:23:39 AM
  • nguyenkieutrinh: hiu lo m.n 9/14/2021 7:30:55 PM
  • nguyenngocha651: Xin chào tất cả các bạn 9/20/2021 3:13:46 PM
  • nguyenngocha651: Có ai onl ko, Ib với mik 9/20/2021 3:14:08 PM
  • nguyenngocha651: Còn ai on ko ạ 9/20/2021 3:21:34 PM
  • nguyenngocha651: ai 12 tủi, sinh k9 Ib Iw mik nhố 9/21/2021 10:22:38 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • dvthuat
  • hoàng anh thọ
  • nhungtt0312
  • Xusint
  • tiendat.tran.79
  • babylove_yourfriend_1996
  • thaonguyenxanh1369
  • hoangthao0794
  • zzzz1410
  • watashitipho
  • HọcTạiNhà
  • Cá Hêu
  • peonycherry
  • phanqk1996
  • giothienxung
  • khoaita567
  • nguyentranthuylinhkt
  • maimatmet
  • minh.mai.td
  • quybalamcam
  • m_internet001
  • bangtuyettrangsocola
  • chizjzj
  • vuivequa052
  • haibanh237
  • sweetmilk1412
  • panhhuu
  • mekebinh
  • Nghịch Thuỷ Hàn
  • Lone star
  • LanguaeofLegend
  • huongduong2603
  • i_love_you_12387
  • a ku
  • heohong_congchua
  • impossitable111
  • khanh
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • huynhhoangphu.10k7
  • namduong2016
  • vycreepers
  • Bảo Phươngg
  • Yurika Yuki
  • tinysweets98
  • Thùy Trang
  • Hàn Thiên Dii
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • LeQuynh
  • thithuan27
  • huhunhh
  • ๖ۣۜDemonღ
  • nguyenxinh6295
  • phuc642003
  • diephuynh2009
  • Lê Giang
  • Han Yoon Min
  • ...
  • thuyvan
  • Mặt Trời Bé
  • DoTri69
  • bac1024578
  • Hạ Vân
  • thuong0122
  • nhakhoahoc43
  • tuanngo.apd
  • Đức Vỹ
  • ๖ۣۜCold
  • Lethu031193
  • salihova.eldara