Bài 101919

Question

Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn điều kiện :

${m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + b + c)$
CMR :

$({m_a} - \frac{{\sqrt 3 }}{2})({m_b} - \frac{{\sqrt 3 }}{2})({m_c} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}) = 0$

score 0 · Answer 1

Ta co' :

$m_a^2 = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{a}$
Ta suy ra

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}({a^2} + {b^2} + {c^2}) = {(\frac{{\sqrt 3 }}{2}a)^2} + {(\frac{{\sqrt 3 }}{2}b)^2} + {(\frac{{\sqrt 3 }}{2}c)^2}(1)$
Từ

$(1)$ và giả thiết suy ra

$\begin{array}{l} a + b + c = a + \frac{a}{2} + \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{2}a(2 + \sqrt 6 + \sqrt 2 )\\ {m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} + \frac{{a\sqrt 6 }}{4} + \frac{{3\sqrt 2 a}}{4} = \frac{1}{4}a(2\sqrt 3 + \sqrt 6 + 3\sqrt 2 )\\ \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + b + c) = \frac{1}{4}a(2\sqrt 3 + 3\sqrt 2 + 3\sqrt 6 )\\ \Rightarrow {m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + b + c) \end{array}$

${m_a}{m_b} + {m_b}{m_c} + {m_c}{m_a} = \frac{1}{2}\left[ {{{({m_a} + {m_b} + {m_c})}^2} - (m_a^2 + m_b^2 + m_c^2)} \right]$ =

$\frac{{\sqrt 3 }}{2}b\frac{{\sqrt 3 }}{2}c + \frac{{\sqrt 3 }}{2}b\frac{{\sqrt 3 }}{2}c + \frac{{\sqrt 3 }}{2}c\frac{{\sqrt 3 }}{2}a(3)$ .Bình phương

$2$ vế của

$(3)$ ,ta có :

$m_a^2m_b^2 + m_b^2m_c^2 + m_c^2m_a^2 + 2{m_a}{m_b}{m_c}({m_a} + {m_b} + {m_c})$ =

$\frac{9}{{16}}({b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}) + \frac{9}{8}abc(a + b + c)(*)$ . Ta có :

$m_a^2m_b^2 + m_b^2m_c^2 + m_c^2m_a^2$ =

$\frac{{(2{a^2} + 2{b^2} - {c^2})(2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}) + (2{b^2} + 2{c^2} - {a^2})(2{c^2} + 2{a^2} - {b^2}) + (2{c^2} + 2{a^2} - {b^2})(2{a^2} + 2{b^2} - {c^2})}}{{16}}$

$= \frac{9}{{16}}({a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2})(**)$ .Từ

$(*)$ và

$(**)$ ,kết hợp với giả thiết suy ra :

$\begin{array}{l} 2{m_a}{m_b}{m_c}\frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + b + c) = \frac{9}{8}abc(a + b + c)\\ \Rightarrow {m_a}{m_b}{m_c} = \frac{{3\sqrt 3 }}{8}abc = (\frac{{\sqrt 3 }}{2}a)(\frac{{\sqrt 3 }}{2}b)(\frac{{\sqrt 3 }}{2}c)(4) \end{array}$
Từ

$(1)(3)(4)$ và theo Viet ,ta có

${m_a},{m_b},{m_c} và \frac{{\sqrt 3 }}{2}a,\frac{{\sqrt 3 }}{2}b,\frac{{\sqrt 3 }}{2}c$ cùng là

$3$ nghiệm của

$2$ phương trình bậc

$3$
Không mất tính tổng quát,giả sử

$a \le b \le c \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}a \le \frac{{\sqrt 3 }}{2}b \le \frac{{\sqrt 3 }}{2}c và {m_a} \ge {m_b} \ge {m_c}$
Từ các nhận xét trên suy ra :

${m_a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a,{m_b} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}b,{m_c} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}c$
Từ đó suy ra

$dpcm$
Nhận xét :

$1/$ Lớp tam giác thỏa mãn điều kiện

${m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + b + c)$ là không rỗng vì ít nhất có tam giác đều thỏa mãn điều kiện đó

$2/$ Bây gời xét tam giác ABC vuông (

$B = {90^0}$ ) với

$BC=a$ ,và trung tuyến

$AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Khi đó

$c = AB = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$\begin{array}{l} b = AC = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{\begin{array}{l} 2\\ \end{array}}\\ {m_b} = \frac{1}{2}b = \frac{b}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{\begin{array}{l} 4\\ \end{array}}\\ {m_c} = CN = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{8}} \end{array}$
Lúc này ta có

$\begin{array}{l} a + b + c = a + \frac{a}{2} + \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{2}a(2 + \sqrt 6 + \sqrt 2 )\\ {m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} + \frac{{a\sqrt 6 }}{4} + \frac{{3\sqrt 2 a}}{4} = \frac{1}{4}a(2\sqrt 3 + \sqrt 6 + 3\sqrt 2 )\\ \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + b + c) = \frac{1}{4}a(2\sqrt 3 + 3\sqrt 2 + 3\sqrt 6 )\\ \Rightarrow {m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + b + c) \end{array}$
Như vậy ta chỉ ra rằng

$1$ lớp tam giác không phải tam giác đều mà vẫn thỏa mãn điều kiện .Bài toán càng có ý nghĩa

$3/$ Xét tam giác ABC có

$BC = a;AB = \frac{a}{2};AM = {m_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Áp dụng công thức

$\begin{array}{l} m_a^2 = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}\\ \Rightarrow \frac{{3{a^2}}}{4} = \frac{{2{b^2} + \frac{{{a^2}}}{2} - {a^2}}}{4}\\ \Rightarrow {b^2} = \frac{{7{a^2}}}{4} \Rightarrow b = \frac{{a\sqrt 7 }}{2} \end{array}$
Lại có :

$\begin{array}{l} {m_a} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}a = 0 \Leftrightarrow m_a^2 = \frac{3}{4}{a^2}\\ \Leftrightarrow 2{b^2} + 2{c^2} - {a^2} = 3{a^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 2{a^2}\\ \Leftrightarrow \cot B + \cot C = 2\cot A \end{array}$

$\begin{array}{l} m_b^2 = \frac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4} = \frac{{2{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{7{a^2}}}{4}}}{4} \Rightarrow {m_b} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\\ m_c^2 = \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4} = \frac{{2{a^2} + \frac{{7{a^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}}}{4} \Rightarrow {m_c} = \frac{{a\sqrt {21} }}{4}\\ \Rightarrow {m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} + \frac{{a\sqrt 3 }}{4} + \frac{{a\sqrt {21} }}{4} = \frac{1}{4}(2\sqrt 3 + \sqrt 3 + \sqrt {21} )a \end{array}$
Mặt khác

$\begin{array}{l} \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + b + c) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + \frac{{a\sqrt 7 }}{2} + \frac{a}{2}) = \frac{1}{4}(2\sqrt 3 + \sqrt {21} + \sqrt 3 )a\\ \Rightarrow {m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}(a + b + c) \end{array}$
Thêm

$1$ ví dụ nữa chứng tỏ rằng tồn tại tam giác không đều thỏa mãn hệ thức đã cho

$4/$ Vấn đề đặt ra liệu có mệnh đề đảo hay không ?Tức là từ hệ thức