Bài 101978

Question

Cho tam giác

$ABC$ , có

$A = {60^0}$ . Gọi

$O ,H$ tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ấy. Đường thẳng

$OH$ cắt

$AB,AC$ tại

$E,F$

$1/$ CMR

${C_{AEF}} = b + c$ , ở đây

${C_{AEF}}$ là chu vi tam giác

$AEF$

$2/$ CMR

$OH = \left| {b - c} \right|$

score 0 · Answer 1

$1/$ Xét khi tam giác

$ABC$ nhọn (giả thiết

$AC>AB$ )

Gọi

$I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và

$J$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc

$A$ . Dễ thấy

$H$ và

$O$ đối xứng nhau qua trục

$AIJ$ . Từ đó suy ra:

$AH=AO=R$
Và cũng thấy ngay tam giác

$AEF$ là tam giác đều
Ta có:

${60^0}$

$= A - ( + )$
Do tính đối xứng nên :

$\begin{array}{l} = = {90^0} - B\\ \Rightarrow = A - 2({90^0} - B) \end{array}$

$\begin{array}{l} = {60^0} - {180^0} + 2B\\ = 2B - (B + C) = B - C \end{array}$
Giả sử thì trong tam giác

$AHN$ , ta có

$AN = AH\cos = R\cos \frac{{}}{2} = R\cos \frac{{B - C}}{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow AE = {\rm{EF}} = {\rm{AF}} = \frac{{2AN\sqrt 3 }}{3} = \frac{2}{3}\sqrt 3 R\cos \frac{{B - C}}{2}\\ \Rightarrow {C_{AEF}} = 3AE = 2\sqrt 3 R\cos \frac{{B - C}}{2} \end{array}$
Do

$A = {60^0} \Rightarrow B + C = {120^0} \Rightarrow 2\sin \frac{{B + C}}{2} = \sqrt 3$ ,do đó :

${C_{AEF}} = 4R\sin \frac{{B + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} = 2R(\sin B + \sin C)$
Theo định lý hàm số sin suy ra

${C_{AEF}} = b + c \Rightarrow$ (đpcm)

$2/$ Khi tam giác

$ABC$ có 1 góc tù, thì chúng minh hoàn toàn tương tự và xin dành cho bạn đọc
Theo đường thẳng Eule, thì mọi tam giác

$ABC$ ta có

$O,H,G$ thẳng hàng và
Vì trong mọi tam giác ta cũng có :
(Xem trong cuốn LƯỢNG GIÁC SƠ CẤP tập

$I$ ) nên đi đến
Vì

$A = {60^0} \Rightarrow a = 2R\sin A = \sqrt 3 R$
Thay vào

$(2$ ) t được

$O{H^2} = 2{a^2} - {b^2} - {c^2}$

$\begin{array}{l} = 2({b^2} + {c^2} - bc\cos A) - {b^2} - {c^2}\\ = {b^2} + {c^2} - 2bc\\ = {(b - c)^2} \end{array}$
Suy ra (đpcm)
Nhận xét :

$1/$ Bài toán trên cho ta thêm

$1$ tính chất của tam giác có

$1$ góc bằng
Xin nhắc lại ta có rất nhiều hệ thức tương đương với sự kiện ta giác có 1 góc bằng ,vì thế nếu kết hợp chúng lại sẽ dẫn đến nhiều bài tập lý thú khác

$2/$ Ở đây xin nhắc lại kiến thức quan trọng trong hình học phẳng:

$H$ và

$O$ đối xứng với nhau qua trục

$AIJ$ với

$I,J$ là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc

$A$