Bài 102046

Question

Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn điều kiện:

$cotA+cotC=2cotB$
CMR:

$B \le {60^0}$

score 0 · Answer 1

Từ giả thiết và theo định lý hàm số Côsin suy rộng ta có:

$\begin{array}{l} \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}} = 2\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4A}}\\ \end{array}$

$\Rightarrow {b^2} = {a^2} + {c^2} - {b^2}$

$\Rightarrow {a^2} + {c^2} = 2{b^2} (1)$
Theo định lý hàm số Côsin, kết hợp với

$(1)$ ta có:

$\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{b^2}}}{{2ac}} \ge \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow B \le {60^0} \Rightarrow$ (đpcm)
Nhận xét

$1/$ Mệnh đề đảo chưa chắc đúng. Thật vậy, xét tam giác

$ABC$ có

$B = {30^0},A = {90^0},C = {60^0}$
Mặc dù

$B < {60^0}$ nhưng :

$\cot A + \cot C = \frac{{\sqrt 3 }}{3} < 2\sqrt 3 = 2\cot B$

$2/$ Bây giờ xét bài toán sau: cho trước góc

$B(0 < B \le {60^0}$ ), liệu có tồn tại tam giác

$ABC$ mà

$cotA+cotC=2cotB$ hay không ?
Ta có

$cotA+cotC=2cotB$

$\Leftrightarrow \cot A - \cot (A + B) = 2\cot B (1)$
Xét

$2$ khả năng sau:

$a/$ Nếu

$\cot B = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(\cos B = \frac{{\sqrt 3 }}{2} > \frac{1}{2})$
Khi đó ta chỉ việc chọn tam giác

$ABC$ có

$A = {90^0},\cot C = \sqrt 2 ,\cot B = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
Vì

$\cot C = \sqrt 2$

$\Rightarrow \tan C = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cot B \Rightarrow B + C = {90^0}$ và với

$A,B,C$ như trên có thể lấy làm góc của

$1$ tam giác. Mặt khác lúc đó:

$cotA+cotC=2cotB$
Như vậy khi

$\cos B = \frac{{\sqrt 6 }}{3}($ tức

$B < {60^0}$ ), thì tồn tại tam giác

$ABC$ như góc

$B$ cho trước thỏa mãn hệ thức :

$cotA+cotC=2cotB$

$b/$ Nếu

$\left\{ \begin{array}{l} \cos B \ge \frac{1}{2}\\ \cot B \neq \frac{{\sqrt 2 }}{2} \end{array} \right.$
Khi đó chắc chắn

$A\neq {90^0}$ . Vì vậy:

$(1) \Leftrightarrow \frac{1}{{\tan A}} - \frac{{1 - \tan A\tan B}}{{\tan A + \tan B}} = \frac{2}{{\tan B}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{tanB + t{an^2}AtanB}}{{t{an^2}A + tanAtanB}} = \frac{2}{{tanB}}\\ \Leftrightarrow t{an^2}B + t{an^2}At{an^2}B = 2t{an^2}B + 2t{an^2}At{an^2}B \end{array}$

$\Leftrightarrow \tan ^2A(2 - \tan ^2B) + 2\tan A\tan B - \tan ^2B = 0 (2)$
Xem

$(2)$ là phương trình bậc

$2$ đói với

$\tan A$ (thật vậy do

$\cot B\neq \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \tan B\neq \sqrt 2 \Rightarrow 2 - \tan ^2B\neq 0$ ). Ta có:
Vì vậy

$(2)$ luôn có nghiệm
Như thế ta đi đến câu trả lời khẳng định sau đây: Mặc dù mệnh đề đảo nói chung không đúng, nhưng bù lại ta có kết luận sau: ” Cho trước góc

$B \le {60^0}$ , luôn tồn tại tam giác

$ABC$ nhận

$B$ làm góc thỏa mãn hệ thức :

$cotA+cotC=2cotB$

$3/$ Ta có bài toán tương tự sau:
Cho tam giác

$ABC$ thỏa mãn :

$cotA+cotC=2cotB$
CMR:

$\cot B + \cot C \ge \frac{2}{3}$
Thật vậy từ giả thiết suy ra

$\cot A + \cot C \ge \frac{2}{3} \Leftrightarrow \cot A \ge \frac{4}{3} (*)$
Từ

$cotA=2(cotB+cotC)$ suy ra

$\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} = 2(\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}})$

$\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 5{a^2} (**)$
Từ

$(**)$ suy ra

$A$ nhọn ,suy ra

$cosA>0$
Từ

$(**)$ có

$4{a^2} = {b^2} + {c^2} - {a^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{a^2} = {b^2} + {c^2} - ({b^2} + {c^2} - 2bc\cos A)\\ \Leftrightarrow 2{a^2} = bc\cos A\\ \Leftrightarrow \cos A = \frac{{2{a^2}}}{{bc}}\\ \Leftrightarrow \cos B \ge \frac{{4{a^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{4}{5} \end{array}$