|
|
Xét số nguyên dương thỏa mãn điều kiện 1≤k<n−1
⇔n−k−1>0⇔nk−k2−k>0⇔nk−k2+n−k−n>0⇔n(k+1)−k(k+1)>n⇔(k+1)(n−k)>n
Lần lượt cho k=1,2,3,…,(n−2). Ta có
n>2.2(n−1)>n3(n−2)>n4(n−3)>n
\begin{array}{l}\\ ...............\\ (n - 1)\left[ {n - (n - 2)} \right] > n\\ Từ đó suy ra: 2.3.4...\,(n - 1).2.3.4\,...\,\,(n - 1) > {n^{n - 2}}\\ \Leftrightarrow \left[ {2.3.4\,...\,\,{{(n - 1)}^2}} \right] > {n^{n - 2}}\,\,\, \Leftrightarrow \,{\left[ {\left( {n - 1} \right)!} \right]^2} \end{array}
Nhân 2 vế với {n^2}, ta có: {(n!)^{2\,}}>{n^n} (đpcm)
|