|
|
Không mất tổng quát giả sử : $a<b<c $ suy ra $A<B<C (1)$
Áp dụng định lý hàm số Côsin, ta có:
$\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} (2)$
Hiển nhiên ${a^2} + {c^2} \ge 2ac = 2{b^2}$, vì thế từ $(2)$ suy ra
$\cos B \ge \frac{1}{2} \Rightarrow B \le {60^0} (3)$
Theo $(1)$ thì $B>A$ ,nên từ $(3)$ suy ra $A < {60^0}$. Như thế cùng lắm là $C > {60^0}$
Đó là (đpcm)
Nhận xét
$1/$ Lớp tam giác thỏa mãn hệ thức ${b^2} = ac$ dĩ nhiên khác rỗng. Chẳng hạn với$a = 5,b = 6,c = \frac{{36}}{5}$, ta có ${b^2} = ac$. Mặt khác vì $c=max(a,b,c)$ và $c<a+b$
Nên có thể lấy $a,b,c$ là $3$ cạnh $1$ tam giác. Nhận xét $1$ được chứng minh
$2/$ Mệnh đề đảo noi chung là không đúng. Thật vậy, xét tam giác $ABC$ có $a=5,b=6,c=7$
Ta có $c=max(a,b,c) \Rightarrow C > {60^0}$
Mặt khác $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{38}}{{70}} > \frac{1}{2} \Rightarrow B < {60^0} \Rightarrow A < {60^0}$
Tam giác này chỉ có $1$ góc $> {60^0}$, nhưng tam giác này có $36 = {b^2} > ac = 35$, tức ${b^2}\neq ac$.
|