Bài 102058

Question

Cho tam giác

$ABC$ có hệ thức

${b^2} = ac$ ( cũng có nghĩa là

$3$ cạnh của tam giác lập thành cấp số nhân). CMR: tam giác có tối đa

$1$ góc

$>{60^0}$

score 0 · Answer 1

Không mất tổng quát giả sử :

$a<b<c$ suy ra

$A<B<C (1)$
Áp dụng định lý hàm số Côsin, ta có:

$\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} (2)$
Hiển nhiên

${a^2} + {c^2} \ge 2ac = 2{b^2}$ , vì thế từ

$(2)$ suy ra

$\cos B \ge \frac{1}{2} \Rightarrow B \le {60^0} (3)$
Theo

$(1)$ thì

$B>A$ ,nên từ

$(3)$ suy ra

$A < {60^0}$ . Như thế cùng lắm là

$C > {60^0}$
Đó là (đpcm)
Nhận xét

$1/$ Lớp tam giác thỏa mãn hệ thức

${b^2} = ac$ dĩ nhiên khác rỗng. Chẳng hạn với

$a = 5,b = 6,c = \frac{{36}}{5}$ , ta có

${b^2} = ac$ . Mặt khác vì

$c=max(a,b,c)$ và

$c<a+b$
Nên có thể lấy

$a,b,c$ là

$3$ cạnh

$1$ tam giác. Nhận xét

$1$ được chứng minh

$2/$ Mệnh đề đảo noi chung là không đúng. Thật vậy, xét tam giác

$ABC$ có

$a=5,b=6,c=7$
Ta có

$c=max(a,b,c) \Rightarrow C > {60^0}$
Mặt khác

$\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{38}}{{70}} > \frac{1}{2} \Rightarrow B < {60^0} \Rightarrow A < {60^0}$
Tam giác này chỉ có

$1$ góc

$> {60^0}$ , nhưng tam giác này có

$36 = {b^2} > ac = 35$ , tức

${b^2}\neq ac$ .

1 Đáp án