|
|
Áp dụng công thức : $r = 4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$
Ta có: $r + R = R(1 + 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}) = R(\cos A + \cos B + \cos C)$
Không mất tổng quát,giả sử $A \le B \le C$
Khi đó ${h_a} \ge {h_b} \ge {h_c} \Leftrightarrow {h_a} = m{\rm{ax}}({h_a},{h_b},{h_c})$
Vậy $r + R \le m{\rm{ax}}({h_a},{h_b},{h_c})$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow R(\cos A + \cos B + \cos C) \le {h_a}\\
\Leftrightarrow R(\cos A + \cos B + \cos C) \le c\sin B\\
\Leftrightarrow R(\cos A + \cos B + \cos C) \le 2R\sin B\sin C\\
\Leftrightarrow \cos A + \cos B + \cos C \le c{\rm{os}}(C - B) - c{\rm{os}}(B + C)
\end{array}$
Do $cos(B+C)=-cosA$ ,nên
$(1) \Leftrightarrow \cos A + \cos B + \cos C \le c{\rm{os}}(C - B) + \cos A$
$ \Leftrightarrow \cos B + \cos C \le c{\rm{os}}(C - B) (*)$
Vậy $(*)$ là điều kiện để có bất đẳng thức $r + R \le m{\rm{ax}}({h_a},{h_b},{h_c})$
Nhận xét :
$1/$ Ta có thể phất biểu lại bài toán như sau:
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện
$\left\{ \begin{array}{l}
A = \min (A,B,C)\\
\cos B + \cos C \le c{\rm{os}}(C - B)
\end{array} \right.$
CMR $r + R \le m{\rm{ax}}({h_a},{h_b},{h_c})$
$2/$ Lớp tam giác thỏa mãn điều kiện trên là khác rỗng
Thật vậy,xét tam giác $ABC$ cân đỉnh $A$ có $B = C = {70^0},A = {40^0}$
Rõ ràng ta có $A=min(A,B,C)$
$\cos B + \cos C = 2\cos {70^0} < 2\cos {60^0} = 1$
$c{\rm{os}}(C - B) = 1\Rightarrow \cos B + \cos C \le c{\rm{os}}(C - B)$
$3/$ Có thể thấy ngay nếu $ABC$ là tam giác đều thì thỏa mãn hệ thức $r + R \le m{\rm{ax}}({h_a},{h_b},{h_c})$
$4/$ Vấn đề đặt ra là liệu có tồn tại tam giác $ABC$ không đều mà thỏa mãn hệ thức $r + R \le m{\rm{ax}}({h_a},{h_b},{h_c})$ hay không?
Câu trả lời dành cho bạn đọc.
|