Bài 102174

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ trực chuẩn

$Oxyz$ cho mặt cầu

${x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\,\,\left( S \right)$ và mặt phẳng

$(P)$

$x + z = 2$

$1$ . Chứng minh rằng mặt phẳng

$(P)$ cắt mặt cầu

$(S)$ . Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn

$(C)$ là giao tuyến giữa

$(P)$ và

$(S)$

$2$ . Viết phương trình đường cong

$\left( {{C_1}} \right)$ là hình chiếu vuông góc của

$(C)$ trên mặt phẳng tọa độ

$Oxy$ .

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 11:04:09 AM

$1$ . Mặt cầu

${x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\left( S \right)$ có tâm

$O(0, 0, 0)$ , bán kính

$R = 2$ . Tâm

$O$ cách mặt phẳng

$(P)$ :

$x + z - 2=0$ một khoảng cách

$h = \frac{{| - 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 < 2 \Rightarrow h < R \Rightarrow (P)$ cắt (S) .
Gọi

${O_1}$ và

$r$ là tâm bán kính của đường tròn

$(C)$ ( giao tuyến của

$(S)$ và

$(P)$ ) thì

${\rm{O}}{{\rm{O}}_1} \bot \left( P \right) \Rightarrow {\rm{O}}{{\rm{O}}_1}$ có vectơ chỉ phương là vectơ pháp

$\overrightarrow v \left( {1,0,1} \right)$ của

$(P)$

${\rm{O}}{{\rm{O}}_1}$ có phương trình

$x = t,\,y = 0,\,z = t \Rightarrow {O_1}$ có tọa độ dạng

$(t, 0, t), t \in \mathbb{R}$ .
Vì

${O_1} \in \left( P \right) \Rightarrow t + t = 2 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow {O_1}\left( {1,\,0,\,1} \right)$ ,

${r^2} = {R^2} - {\rm{OO}}_1^2 = {2^2} - \left( {{1^2} + {1^2}} \right) = 2 \Rightarrow r = \sqrt 2$

$2$ . Nếu

${M_1}\left( {{x_1},\,{y_1},\,0} \right) \in \left( {{C_1}} \right)$ thì

$\exists {M_0}\left( {{x_0},\,{y_0},\,{z_0}} \right) \in \left( C \right)$ sao cho

${x_1} = {x_0},\,\,{y_1} = {y_0}$ . Vì

${M_0} \in \left( C \right)$ nên

$\left\{ \begin{array}{l} x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 4\\ {x_0} + {z_0} = 2 \end{array} \right. \Rightarrow x_0^2 + y_0^2 + {\left( {2 - {x_0}} \right)^2} = 4 \Rightarrow 2x_0^2 - 4{x_0} + y_0^2 \Rightarrow 2x_1^2 - 4{x_1} + y_1^2 = 0$

$\Rightarrow {M_1}$ có tọa độ thỏa mãn:

$\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} - 4x + {y^2} = 0\\ z = 0 \end{array} \right.\,\,\left( * \right)$
Đảo lại nếu

${M_1}\left( {{x_1},{y_1},0} \right)$ có tọa độ thỏa mãn (*) thì lấy

${x_0} = {x_1},\,{y_0} = {y_1},\,{z_0} = 2 - {x_1}$ thì

${M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right) \in \left( C \right)$ và có hình chiếu vuông góc xuống (xOy) là

${M_1}$
Vậy

$\left( {{C_1}} \right)$ là đường elip trong mặt phẳng

$(xOy)$ với phương trình (*)

Bài 102174

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102174

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan