|
|
$1$. Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\left( S \right)\) có tâm $O(0, 0, 0)$, bán kính \(R = 2\). Tâm $O$ cách mặt phẳng $(P)$ :
\(x + z - 2=0\) một khoảng cách \(h = \frac{{| - 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 < 2 \Rightarrow h < R \Rightarrow (P)\) cắt (S) .
Gọi \({O_1}\) và $r$ là tâm bán kính của đường tròn $(C)$ ( giao tuyến của $(S)$ và $(P)$) thì \({\rm{O}}{{\rm{O}}_1} \bot \left( P \right) \Rightarrow {\rm{O}}{{\rm{O}}_1}\) có vectơ chỉ phương là vectơ pháp \(\overrightarrow v \left( {1,0,1} \right)\) của $(P)$
\({\rm{O}}{{\rm{O}}_1}\) có phương trình \(x = t,\,y = 0,\,z = t \Rightarrow {O_1}\) có tọa độ dạng $(t, 0, t), t \in \mathbb{R} $.
Vì \({O_1} \in \left( P \right) \Rightarrow t + t = 2 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow {O_1}\left( {1,\,0,\,1} \right)\), \({r^2} = {R^2} - {\rm{OO}}_1^2 = {2^2} - \left( {{1^2} + {1^2}} \right) = 2 \Rightarrow r = \sqrt 2 \)
$2$. Nếu \({M_1}\left( {{x_1},\,{y_1},\,0} \right) \in \left( {{C_1}} \right)\) thì \(\exists {M_0}\left( {{x_0},\,{y_0},\,{z_0}} \right) \in \left( C \right)\) sao cho \({x_1} = {x_0},\,\,{y_1} = {y_0}\). Vì \({M_0} \in \left( C \right)\) nên\(\left\{ \begin{array}{l}
x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 4\\
{x_0} + {z_0} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow x_0^2 + y_0^2 + {\left( {2 - {x_0}} \right)^2} = 4 \Rightarrow 2x_0^2 - 4{x_0} + y_0^2 \Rightarrow 2x_1^2 - 4{x_1} + y_1^2 = 0\)
\( \Rightarrow {M_1}\) có tọa độ thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} - 4x + {y^2} = 0\\
z = 0
\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\)
Đảo lại nếu \({M_1}\left( {{x_1},{y_1},0} \right)\) có tọa độ thỏa mãn (*) thì lấy \({x_0} = {x_1},\,{y_0} = {y_1},\,{z_0} = 2 - {x_1}\) thì \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right) \in \left( C \right)\) và có hình chiếu vuông góc xuống (xOy) là \({M_1}\)
Vậy \(\left( {{C_1}} \right)\)là đường elip trong mặt phẳng $(xOy)$ với phương trình (*)
|
|
|
Đăng bài 02-05-12 11:04 AM
|
|