Bài 102238

Question

Cho tam giác

$ABC$ cân đỉnh

$A$ , có

$B = C = 2\alpha$ , đường cao

$AH$ ,

$d$ là đường thẳng song song với

$BC$ qua

$A$ . Đoạn

$PQ=l$ đi qua trung điểm

$M$ của

$AH$ , với

$P$ thuộc thẳng

$BC, Q$ thuộc

$d$ . Biết rằng

$PQ$ tạo với

$AH$ góc nhọn

$\beta$ . Giả sử

$PQ$ cắt

$AB,AC$ tại

$R,S$ .
Chứng minh rằng :

$RS = \frac{{ - l\sin 2\beta \sin 4\alpha }}{{4\cos (2\alpha + \beta )\cos (2\alpha - \beta )}}$

score 0 · Answer 1

Từ

$MA=MH \Rightarrow MP = MQ = \frac{l}{2}$
TA có :

$\begin{array}{l} = \beta - ({90^0} - 2\alpha )\\ = \beta + 2\alpha - {90^0} \end{array}$
Áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác

$ARM$ , ta có:

$\frac{{MA}}{{\sin (\beta + 2\alpha - {{90}^0})}} = \frac{{MR}}{{\sin ({{90}^0} - 2\alpha )}} \Rightarrow MR = \frac{{MA\cos 2\alpha }}{{ - c{\rm{os}}(2\alpha + \beta )}}$
Do

$MA = MQ\cos \beta = \frac{l}{2}c{\rm{os}}\beta \Rightarrow MR = - \frac{{l\cos 2\alpha c{\rm{os}}\beta }}{{2\cos (2\alpha + \beta )}} (1)$
Lại áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác

$AMS$ ,ta có:

$\frac{{MS}}{{\sin ({{90}^0} - 2\alpha )}} = \frac{{AM}}{{\sin (\beta + {{90}^0} - 2\alpha )}} \Rightarrow MS = \frac{{l\cos 2\alpha c{\rm{os}}\beta }}{{2\cos (\beta - 2\alpha )}} (2)$
Từ

$(1)(2)$ ta có :

$RS = MR + MS = \frac{{l\cos 2\alpha c{\rm{os}}\beta }}{2}\left[ {\frac{1}{{c{\rm{os}}(\beta - 2\alpha )}} - \frac{1}{{c{\rm{os}}(2\alpha + \beta )}}} \right]$