Bài 102296

Question

$1)$ Cho

$ABC$ là tam giác có

$max(A,B,C) \ge \frac{{2\pi }}{3}$ và thỏa mãn hệ thức

$\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{C}{2} = 4 - \sqrt 3$
Chứng minh rằng tam giác

$ABC$ là tam giác cân với góc ở đỉnh bằng

$\frac{{2\pi }}{3}$

$2)$ Các góc

$A,B,C$ thỏa mãn pt :

$\sin 2x + \sin x - \cos x = \frac{1}{2}$
Chứng minh rằng tam giác

$ABC$ là tam giác cân với góc ở đỉnh bằng

${120^0}$

score 0 · Answer 1

$1/$ Do vai trò bình đẳng của

$A,B,C$ nên có thể giả sử

$m{\rm{ax}}(A,B,C) = A \ge \frac{{2\pi }}{3}$
Khi đó dĩ nhiên

$B,C \in (0,\frac{\pi }{3})$
Xét hàm số

$f(x) = tanx$ với

$0 < x < \frac{\pi }{2}$

$f'(x) = \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} \Rightarrow f''(x) = \frac{{2\sin x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x}} > 0\forall 0 < x < \frac{\pi }{2}$
Như thế

$f(x)$ là hàm lồi trên

$(0,\frac{\pi }{3})$ . Theo bất đẳng thức Jensen, ta có

$tan\frac{B}{2} + tan\frac{C}{2} \ge 2tan\frac{{B + C}}{4}$

$\Rightarrow tan\frac{B}{2} + tan\frac{C}{2} \ge 2tan(\frac{\pi }{4} - \frac{A}{4})$

$\Rightarrow tan\frac{B}{2} + tan\frac{C}{2} \ge \frac{{2(1 - tan\frac{A}{4})}}{{1 + tan\frac{A}{4}}} (1)$
Dấu

$“=”$ xảy ra khi

$B=C$
Từ

$(1)$ suy ra :

$tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2} + tan\frac{C}{2} \ge \frac{{2tan\frac{A}{4}}}{{1 - t{an^2}\frac{A}{4}}} + \frac{{2(1 - tan\frac{A}{4})}}{{1 + tan\frac{A}{4}}}$

$\Leftrightarrow tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2} + tan\frac{C}{2} \ge \frac{{2(t{an^2}\frac{A}{4} - tan\frac{A}{4} + 1)}}{{1 - t{an^2}\frac{A}{4}}} (2)$
Dấu

$“=”$ trong

$(2)$ xảy ra khi dấu

$“=”$ trong

$(1)$ xảy ra,tức

$B=C$
Do

$\frac{{2\pi }}{3} \le A < \pi \Rightarrow \frac{\pi }{6} \le \frac{A}{4} < \frac{\pi }{4} \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{3} \le tan\frac{A}{4} < 1$
Xét hàm só

$g(x) = \frac{{2({x^2} - x + 1)}}{{1 - {x^2}}}$ với

$\frac{{\sqrt 3 }}{3} < x < 1$

$g'(x) = \frac{{ - 2{x^2} + 8x - 2}}{{{{(1 - {x^2})}^2}}}$
Theo bảng biến thiên ta có

$g(x) \ge g(\frac{{\sqrt 3 }}{3})\forall \frac{{\sqrt 3 }}{3} \le x < 1$

$\Rightarrow g(x) \ge 4 - \sqrt 3 (3)$
Dấu

$“=”$ xảy ra khi

$x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
Từ

$(2)(3)$ ta có :

$tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2} + tan\frac{C}{2} \ge 4 - \sqrt 3 (4)$
Dấu

$“=”$ trong

$(4)$ xảy ra khi có dấu

$“=”$ trong

$(2)$ và

$(3)$ ,tức

$\left\{ \begin{array}{l} B = C\\ tan\frac{A}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B = C\\ A = \frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.$
Ta có (đpcm)

$2/$ Xét pt :

$\sin 2x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x = \frac{1}{2} (*)$
Dễ thấy

$(*)$ tương đương

$(2\cos x + 1)(2\sin x - 1) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = \frac{{ - 1}}{2}\\ {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \\ x = \frac{\pi }{6} + 2k\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi \end{array} \right.(k \in Z)\\ \end{array}$
Vì

$A,B,C$ là

$3$ góc trong

$1$ tam giác, lại thỏa mãn

$(*)$ nên