|
|
$1/$ Do vai trò bình đẳng của $A,B,C$ nên có thể giả sử $m{\rm{ax}}(A,B,C) = A \ge \frac{{2\pi }}{3}$
Khi đó dĩ nhiên $B,C \in (0,\frac{\pi }{3})$
Xét hàm số $f(x) = tanx$ với $0 < x < \frac{\pi }{2}$
$f'(x) = \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} \Rightarrow f''(x) = \frac{{2\sin x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x}} > 0\forall 0 < x < \frac{\pi }{2}$
Như thế $f(x)$ là hàm lồi trên $(0,\frac{\pi }{3})$. Theo bất đẳng thức Jensen, ta có
$tan\frac{B}{2} + tan\frac{C}{2} \ge 2tan\frac{{B + C}}{4}$
$\Rightarrow tan\frac{B}{2} + tan\frac{C}{2} \ge 2tan(\frac{\pi }{4} - \frac{A}{4})$
$ \Rightarrow tan\frac{B}{2} + tan\frac{C}{2} \ge \frac{{2(1 - tan\frac{A}{4})}}{{1 + tan\frac{A}{4}}} (1)$
Dấu $“=”$ xảy ra khi $B=C$
Từ $(1)$ suy ra :
$tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2} + tan\frac{C}{2} \ge \frac{{2tan\frac{A}{4}}}{{1 - t{an^2}\frac{A}{4}}} + \frac{{2(1 - tan\frac{A}{4})}}{{1 + tan\frac{A}{4}}}$
$ \Leftrightarrow tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2} + tan\frac{C}{2} \ge \frac{{2(t{an^2}\frac{A}{4} - tan\frac{A}{4} + 1)}}{{1 - t{an^2}\frac{A}{4}}} (2)$
Dấu $“=”$ trong $(2)$ xảy ra khi dấu $“=”$ trong $(1)$ xảy ra,tức $B=C$
Do $\frac{{2\pi }}{3} \le A < \pi \Rightarrow \frac{\pi }{6} \le \frac{A}{4} < \frac{\pi }{4} \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{3} \le tan\frac{A}{4} < 1$
Xét hàm só $g(x) = \frac{{2({x^2} - x + 1)}}{{1 - {x^2}}}$ với $\frac{{\sqrt 3 }}{3} < x < 1$
$g'(x) = \frac{{ - 2{x^2} + 8x - 2}}{{{{(1 - {x^2})}^2}}}$
Theo bảng biến thiên ta có $g(x) \ge g(\frac{{\sqrt 3 }}{3})\forall \frac{{\sqrt 3 }}{3} \le x < 1$
$ \Rightarrow g(x) \ge 4 - \sqrt 3 (3)$
Dấu $“=”$ xảy ra khi $x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
Từ $(2)(3)$ ta có : $tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2} + tan\frac{C}{2} \ge 4 - \sqrt 3 (4)$
Dấu $“=”$ trong $(4)$ xảy ra khi có dấu $“=”$ trong $(2)$ và $(3)$,tức
$\left\{ \begin{array}{l}
B = C\\
tan\frac{A}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
B = C\\
A = \frac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right.$
Ta có (đpcm)
$2/$ Xét pt : $\sin 2x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x = \frac{1}{2} (*)$
Dễ thấy $(*)$ tương đương
$(2\cos x + 1)(2\sin x - 1) = 0$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = \frac{{ - 1}}{2}\\
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \\
x = \frac{\pi }{6} + 2k\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi
\end{array} \right.(k \in Z)\\
\end{array}$
Vì $A,B,C$ là $3$ góc trong $1$ tam giác, lại thỏa mãn $(*)$ nên
$A,B,C \in (\frac{\pi }{6},\frac{{2\pi }}{3},\frac{{5\pi }}{6})$
Vì $A + B + C = \pi$ nên suy ra trong $3$ góc $A,B,C$ có $2$ góc =$\frac{\pi }{6}$, 1 góc =$\frac{{2\pi }}{3}$
Ta có (đpcm)
|