|
|
Theo nguyên lý Dirichle, trong mọi tam giác $ABC$ luôn tồn tại $2$ góc hoặc >${60^0}$ hoặc <${60^0}$. Không mất tổng quát, giả sử $2$ góc đó là $A,B$
Ta có: ${(\cos A + \cos B + \cos C)^2} - ({\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C)$
$ = (c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}A - {\sin ^2}A) + (c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B - {\sin ^2}B) $
$+ (c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}C - {\sin ^2}C) + 2\cos A\cos B + 2\cos B\cos C + 2\cos A\cos C$
$ = 3 - 2({\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C) + 2\cos B\cos C $
$+ 2\cos C\cos A + c{\rm{os}}(A - B) - \cos C$
Áp dụng công thức ${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2 + 2\cos A\cos B\cos C$, ta có :
${(\cos A + \cos B + \cos C)^2} - ({\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C)$
$= - 1 - 4\cos A\cos B\cos C + 2\cos B\cos C $
$+ 2\cos C\cos A + c{\rm{os}}(A - B) - \cos C$
$= \left[ {c{\rm{os}}(A - B) - 1} \right] - \cos C(4\cos A\cos B + 1 - 2\cos B - 2\cos A)$
${(\cos A + \cos B + \cos C)^2} \le {\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C (1)$
Rõ ràng ta có $c{\rm{os}}(A - B) - 1 \le 0 (2)$
Vì $m{\rm{ax}}(A,B,C) \le \frac{\pi }{2} \Rightarrow C \le \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos C \ge 0 (3)$
Do $A$ và $B$ đồng thời $ > \frac{\pi }{3}$ hoặc $ < \frac{\pi }{3}$,do vậy
$(1 - 2\cos A)(1 - 2\cos B) \ge 0 (4)$
Từ $(1)(2)(3)(4)$ ta có :
$\left[ {c{\rm{os}}(A - B) - 1} \right] - \cos C(1 - 2\cos B)(1 - 2\cos A) \le 0$
Hay ${(\cos A + \cos B + \cos C)^2} \le {\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C (5)$
Dấu “$=$” trong $(5)$ xảy ra khi:
$\left\{ \begin{array}{l}
c{\rm{os}}(A - B) = 1\\
\left[ \begin{array}{l}
\cos C = 0\\
\cos A = \frac{1}{2}\\
\cos B = \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \begin{cases}A = B \\ \left[ \begin{array}{l}
C = \frac{\pi }{2}\\
A = \frac{\pi }{3}\\
B = \frac{\pi }{3}
\end{array} \right.
\end{cases}$
Để ý rằng nếu $A = B = \frac{\pi }{3} \Rightarrow C = \frac{\pi }{3} \Rightarrow m{\rm{ax}}(A,B,C) = \frac{\pi }{3}$ ( trái giả thiết )
Vì vậy dấu “$=$” trong ($5$) xảy ra khi $A = B,C = \frac{\pi }{2}$
Từ đó suy ra $dpcm$
Nhận xét :
Ta đưa ra dạng hình học cho bài toán trên
Cho tam giác $ABC$ mà $\frac{\pi }{3} < m{\rm{ax}}(A,B,C) \le \frac{\pi }{2}$ và thỏa mãn điều kiện
${(AH + BH + CH)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}$
ở đây $H$ là trực tâm. CMR $ABC$ là tam giác vuông cân
Thật vậy :
Do tam giác $ABC$ không có góc tù nên ta có :
$\begin{array}{l}
AH = 2R\cos A\\
BH = 2R\cos B\\
CH = 2R\cos C
\end{array}$
Từ đó suy ra ${(AH + BH + CH)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}$
$ \Leftrightarrow {(\cos A + \cos B + \cos C)^2} = {\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C$
Nhận xét được chứng minh.
|