|
|
Áp dụng công thức: cos2A+cos2B+cos2C=3−(sin2A+sin2B+sin2C)
=3−(2+2cosAcosBcosC)=1−2cosAcosBcosC
Suy ra 1−2cosAcosBcosC≥1⇒cosAcosBcosC≤0
⇒max(A,B,C)≥π2
Không mất tổng quát, giả sử max(A,B,C)=A≥π2
Ta thấy cosA+cosB+cosC=√2
⇔1−2sin2A2+2cosB+C2cosB−C2=√2⇔1−2sin2A2+2sinA2cosB−C2=√2
⇔2sin2A2−2sinA2cosB−C2+√2−1=0(1)
Ta có :
2sin2A2−2sinA2cosB−C2+√2−1≥2sin2A2−2sinA2−1(2)
Dấu “=” xảy ra khi B=C
Lại thấy :
2sin2A2−2sinA2+√2−1=2(sinA2−√22)[sinA2−(1−√22](∗)
Vì π>A≥π2⇒π2>A2≥π4⇒sinA2≥√22⇒sinA2>1−√22
Vì thế từ (∗) suy ra 2sin2A2−2sinA2+√2−1≥0(3)
Dấu “=” trong (3) xảy ra khi sinA2=√22⇔A=π2
Từ (2)(3) ta có 2sin2A2−2sinA2cosB−C2+√2−1≥0(4)
Dấu “=” trong (4) xảy ra khi có dấu “=” trong (2) và (3), tứcB=C,A=π2
Theo (1) thì trong (4) có dấu “+”, từ đó suy ra (đpcm)
Nhận xét:
Ta có bài toán tương tự:
Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ điều kiện
{cos2A+cos2B+cos2C≥−1sinA+sinB+sinC=1+√2
CMR tam giác ABC vuông cân
Ta có cos2A+cos2B+cos2C≥−1
⇔1+cos2A+cos2B+cos2C≥0⇔2cos2A+2cos(B+C)cos(B−C)≥0⇔2cosA[cosA−cos(B−C)]≥0⇔−4cosAcosBcosC≥0⇔cosAcosBcosC≤0⇔max(A,B,C)≥π2
Không mất tổng quát, giả sử A≥π2
Ta có sinA+sinB+sinC=sinA+2sinB+C2cosB−C2=sinA+2cosA2cosB−C2
Vì thế suy ra sinA+sinB+sinC≤sinA+2cosA2(5)
Dấu”=” trong (5) xảy ra khi B=C
Do π>A≥π2⇒2cosA2≤√2
Vậy sinA+2cosA2≤√2+1(6)
Dâu “=” trong (6) xảy ra khi
{sinA=1cosA2=√22⇔A=π2
Từ (5)(6) suy ra sinA+sinB+sinC≤√2+1(7)
Dấu “=” trong (7) xảy ra khi B=C, A=π2
Từ (7) và giả thiết suy ra có dấu “=” ,từ đó suy ra (đpcm)
Nhận xét được chứng minh.
|