|
|
Áp dụng công thức: $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}A + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}C = 3 - ({\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C)$
$\begin{array}{l}
= 3 - (2 + 2\cos A\cos B\cos C)\\
= 1 - 2\cos A\cos B\cos C
\end{array}$
Suy ra $1 - 2\cos A\cos B\cos C \ge 1 \Rightarrow \cos A\cos B\cos C \le 0$
$ \Rightarrow m{\rm{ax}}(A,B,C) \ge \frac{\pi }{2}$
Không mất tổng quát, giả sử $m{\rm{ax}}(A,B,C) = A \ge \frac{\pi }{2}$
Ta thấy $\cos A + \cos B + \cos C = \sqrt 2 $
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}\frac{A}{2} + 2\cos \frac{{B + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} = \sqrt 2 \\
\Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}\frac{A}{2} + 2\sin \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} = \sqrt 2
\end{array}$
$ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}\frac{A}{2} - 2\sin \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} + \sqrt 2 - 1 = 0 (1)$
Ta có :
$2{\sin ^2}\frac{A}{2} - 2\sin \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} + \sqrt 2 - 1 \ge 2{\sin ^2}\frac{A}{2} - 2\sin \frac{A}{2} - 1 (2)$
Dấu “$=$” xảy ra khi $B=C$
Lại thấy :
$2{\sin ^2}\frac{A}{2} - 2\sin \frac{A}{2} + \sqrt 2 - 1 = 2(\sin \frac{A}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2})\left[ {\sin \frac{A}{2} - (1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right] (*)$
Vì $\pi > A \ge \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{\pi }{2} > \frac{A}{2} \ge \frac{\pi }{4} \Rightarrow \sin \frac{A}{2} \ge \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \sin \frac{A}{2} > 1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
Vì thế từ $(*)$ suy ra $2{\sin ^2}\frac{A}{2} - 2\sin \frac{A}{2} + \sqrt 2 - 1 \ge 0 (3)$
Dấu “$=$” trong ($3)$ xảy ra khi $\sin \frac{A}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow A = \frac{\pi }{2}$
Từ ($2)(3$) ta có $2{\sin ^2}\frac{A}{2} - 2\sin \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} + \sqrt 2 - 1 \ge 0 (4)$
Dấu “$=”$ trong ($4$) xảy ra khi có dấu “$=$” trong ($2$) và ($3$), tức$ B=C,A = \frac{\pi }{2}$
Theo ($1$) thì trong ($4$) có dấu “$+$”, từ đó suy ra (đpcm)
Nhận xét:
Ta có bài toán tương tự:
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ điều kiện
$\left\{ \begin{array}{l}
c{\rm{os}}2A + c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C \ge - 1\\
\sin A + \sin B + \sin C = 1 + \sqrt 2
\end{array} \right.$
CMR tam giác $ABC$ vuông cân
Ta có $c{\rm{os}}2A + c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C \ge - 1$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 + c{\rm{os}}2A + c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C \ge 0\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}A + 2\cos (B + C)c{\rm{os}}(B - C) \ge 0\\
\Leftrightarrow 2\cos A\left[ {\cos A - c{\rm{os}}(B - C)} \right] \ge 0\\
\Leftrightarrow - 4\cos A\cos B\cos C \ge 0\\
\Leftrightarrow \cos A\cos B\cos C \le 0\\
\Leftrightarrow m{\rm{ax}}(A,B,C) \ge \frac{\pi }{2}
\end{array}$
Không mất tổng quát, giả sử $A \ge \frac{\pi }{2}$
Ta có $\sin A + \sin B + \sin C = \sin A + 2\sin \frac{{B + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} = \sin A + 2\cos \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2}$
Vì thế suy ra $\sin A + \sin B + \sin C \le \sin A + 2\cos \frac{A}{2} (5)$
Dấu”$=$” trong ($5$) xảy ra khi $B=C$
Do $\pi > A \ge \frac{\pi }{2} \Rightarrow 2\cos \frac{A}{2} \le \sqrt 2 $
Vậy $\sin A + 2\cos \frac{A}{2} \le \sqrt 2 + 1 (6)$
Dâu “$=$” trong $(6)$ xảy ra khi
$\left\{ \begin{array}{l}
\sin A = 1\\
c{\rm{os}}\frac{A}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow A = \frac{\pi }{2}$
Từ ($5)(6$) suy ra $\sin A + \sin B + \sin C \le \sqrt 2 + 1 (7)$
Dấu $“=$” trong ($7$) xảy ra khi $B=C$, $A = \frac{\pi }{2}$
Từ $(7)$ và giả thiết suy ra có dấu “$=$” ,từ đó suy ra (đpcm)
Nhận xét được chứng minh.
|