$1$ Áp dụng
công thức $r =
4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$,hệ thức
đã cho tương đương
$\sin
\frac{A}{2}(1 - \sin \frac{A}{2}) = 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin
\frac{C}{2}$
$ \Leftrightarrow 1 - \sin
\frac{A}{2} = 2\sin \frac{B}{2}\sin
\frac{C}{2}$ (do $\sin \frac{A}{2}\#
0$)
$ \Leftrightarrow 1 - \sin
\frac{A}{2} = c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} - c{\rm{os}}\frac{{B + C}}{2}$
$\Leftrightarrow 1 = c{\rm{os}}\frac{{B -
C}}{2}$ (do $c{\rm{os}}\frac{{B
+ C}}{2} = \sin \frac{A}{2}$)
$\Leftrightarrow B = C$
Từ đó suy ra $DPCM$
$2/$ Ta có $4r{r_a} = {a^2} \Leftrightarrow 4\frac{S}{p}\frac{S}{{p
- a}} = {a^2} (1)$
Áp dụng công thức Herong,ta có
$(1) \Leftrightarrow \frac{{4p(p - a)(p - b)(p - c)}}{{p(p - a)}} = {a^2}$
$\Leftrightarrow 4(p - b)(p - c) =
{a^2} (2)$
Theo bất đẳng thức Cosi,ta có
$4(p - b)(p - c) \le {\left[ {(p - b) + (p - c)}
\right]^2}$
$ \Leftrightarrow 4(p - b)(p - c) \le
{a^2}
(3)$
Dấu “$=$” xảy ra khi $b=c$
Từ ($2$) suy ra trong
($3$) có dấu “$=$”,từ đó suy ra $DPCM$
$3/$
${r_a} + r = 4R\cos C$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow p.tg\frac{A}{2} + (p - a)tg\frac{A}{2} = 4R\cos C\\
\Leftrightarrow (2p - a)tg\frac{A}{2} = 4R\cos C\\
\Leftrightarrow (b + c)tg\frac{A}{2} = 4R\cos C\\
\Leftrightarrow 2R(\sin B + \sin C)\frac{{\sin
\frac{A}{2}}}{{c{\rm{os}}\frac{A}{2}}} = 4R\cos C\\
\Leftrightarrow 4R\sin \frac{{B + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2}\frac{{\sin
\frac{A}{2}}}{{c{\rm{os}}\frac{A}{2} = 4R\cos C}}
\end{array}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2\sin \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} = 2\cos C\\
\Leftrightarrow 2\cos \frac{{B + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} =
2\cos C\\
\Leftrightarrow \cos B + \cos C = 2\cos C
\end{array}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \cos B = \cos C\\
\Leftrightarrow B = C
\end{array}$
Ta có $DPCM$
$4/$ ${l_a} = \frac{{bc}}{{2R}} \Leftrightarrow
\frac{{bc}}{{{l_a}}} = 2R$
$ \Leftrightarrow \frac{{bc}}{{\frac{{2bc\cos
\frac{A}{2}}}{{b + c}}}} = 2R$
$\Leftrightarrow \frac{{b + c}}{{2\cos \frac{A}{2}}} = 2R$
$\Leftrightarrow \frac{{\sin B + \sin C}}{{2\cos
\frac{A}{2}}} = 1$
$ \Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{{B +
C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2}}}{{2\cos \frac{A}{2}}} = 1$
$\Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} =
1$
$\Leftrightarrow B = C$
Ta có $DPCM$