|
|
Theo giả thiết ta có $cotA+cotC=2cotB(1)$
Theo định lý hàm số cosin suy rộng và công thức $S=2bcsinA$,ta có
$\begin{array}{l}
(1) \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}} = 2\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}}\\
\Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2{b^2}\\
\Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - {b^2} = {b^2}\\
\Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{b^2}}}{{2ac}}\\
\Leftrightarrow \cos B = \frac{{{b^2}}}{{2ac}}
\end{array}$(2)
Nhận xét
$1/$ Từ $(2)$ suy ra lớp các tam giác ABC thỏa mãn điều kiện là khác rỗng. Thật vậy, có $1$ tam giác như vậy, là tam giác $ABC$ với $a = 4,b = \sqrt {10} ,c = 2$
$2/$ Ta có bài toán tương tự sau :
CMR: trong tam giác $ABC$ thì $4tanA,tanB,tanC$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi $tanAtanC=3$
Thật vậy
$\begin{array}{l}
tanA + tanC = 2tanB\\
\Leftrightarrow tanA + tanC = - 2tan(A + C)\\
\Leftrightarrow tanA + tanC = 2\frac{{tanA + tanC}}{{tanAtanC - 1}}(*)
\end{array}$
Do $tanA+tanC\neq 0$ nên từ $(*)$ suy ra $tanAtanC=3$
Đó là đpcm.
$3/$ Như trên đã thấy trong tam giác $ABC$,thì
$\cot gA + \cot gC = 2\cot gB \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2{b^2}$
Bây giờ ta đưa thêm $1$ điều kiện cần và đủ để có $cotA+cotC=2cotB$ dưới dạng hình học như sau
Cho tam giác $ABC$ không cân đỉnh $B. 3$ trung tuyến kẻ từ $A,B,C$ cắt đường tròn ngoại tiếp tại $A’,B’,C’$. Khi đó ta có :
$cotA+cotC=2cotB$$ \Leftrightarrow B'A' = B'C'$
Thật vậy,gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Khi đó, từ sự đồng dạng của $2$ tam giác $C’B’G$ và $BCG$, ta có:
$\frac{{C'B'}}{{BC}} = \frac{{B'G}}{{CG}}$
Tương tự có $\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'G}}{{AG}}$
Từ đó suy ra $B'A' = B'C' \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AG}}{{CG}}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{c}{a} = \frac{{{m_a}}}{{{m_c}}}\\
\Leftrightarrow {(\frac{c}{a})^2} = {(\frac{{{m_a}}}{{{m_c}}})^2}\\
\Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{{2{a^2} + {b^2} - {c^2}}}\\
\Leftrightarrow 2{a^2}{c^2} + 2{b^2}{c^2} - {c^4} = 2{a^2}{b^2} + 2{a^2}{c^2} - {a^4}\\
\Leftrightarrow 2{b^2}({c^2} - {a^2}) = {c^4} - {a^4} = ({c^2} - {a^2})({c^2} + {a^2})
\end{array}$
Do a#c $\begin{array}{l}
\Rightarrow B'A' = A'C' \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2{b^2} \Leftrightarrow \cot A + \cot C = 2\cot B\\
\Rightarrow dpcm
\end{array}$
$4)$ TA lại đưa thêm tiêu chuẩn hình học nữa để $cotA+cotC=2cotB$
Xét tam giác $ABC$ với $a \le b \le c$ và không cân đỉnh $B$
Khi đó $cotA+cotC=2cotB$ nếu tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác mà $3$ cạnh là $3$ trung tuyến của tam giác ấy
$a \le b \le c \Rightarrow {m_a} \ge {m_b} \ge {m_c}$
Thật vậy:
$\begin{array}{l}
2{b^2} + 2{c^2} - {a^2} = 2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} + (3{b^2} - 3{a^2})\\
\Rightarrow 4m_a^2 = 4m_b^2 + 3({b^2} - {a^2}) \ge 4m_b^2(b \ge a)\\
\Leftrightarrow {m_a} \ge {m_b}
\end{array}$
Nhận xét được chứng minh.Gọi $M$ là tam giác có $3$ cạnh là $3$ trung tuyến của tam giác $ABC$ ,ta có : $\frac{{{m_a}}}{{{m_b}}} = \frac{c}{b};\frac{{{m_a}}}{{{m_c}}} = \frac{c}{a}$
Do $a\# c \Rightarrow {a^2} + {c^2} = 2{b^2}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \cot A + \cot C = 2\cot B\\
\Rightarrow
\end{array}$ (đpcm)
$5/$ Xét thêm $1$ tiêu chuẩn nữa như sau :
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Khi đó nếu như $AC$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABG$ thì $cotA+cotC=2cotB$
Thật vậy. Gọi $M,N$ là trung điểm của $AB,BC,G$ là trọng tâm.
Do $AC$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $AABG$, nên
Vì $MN//AC $
Do vậy là tứ giác nội tiếp. Vì thế ta có
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AG.AN = AM.AB\\
CN.CB = CG.CM
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{2}{3}{m_a}{m_a} = \frac{c}{2}c\\
\frac{2}{3}{m_c}{m_c} = \frac{a}{2}a
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4m_a^2 = 3{c^2}\\
4m_c^2 = 3{a^2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{b^2} + 2{c^2} - {a^2} = 3{c^2}\\
2{b^2} + 2{a^2} - {c^2} = 3{a^2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 2{b^2} = {a^2} + {c^2}\\
\Rightarrow \cot A + \cot C = 2\cot B\\
\Rightarrow (đpcm)
\end{array}$
Vì thế tiêu chuẩn hình học $“AC$ là tiếp tuyếnđường tròn ngoại tiếp tam giác $ABG” $ cũng là điều kiện đủ để trong tam giác $ABC$ có $cotA+cotC=2cotB$
|