Bài 102519

Question

Cho tam giác

$ABC$ và

$x,y,z$ là độ dài

$3$ cạnh của tam giác nào đó. Biết:

$\frac{{\cos A}}{x} + \frac{{\cos B}}{y} + \frac{{\cos C}}{z} = \frac{x}{{2yz}} + \frac{y}{{2zx}} + \frac{z}{{2xy}}$
CMR tam giác

$ABC$ đồng dạng với tam giác có

$3$ cạnh là

$x,y,z$ .

score 0 · Answer 1

Từ giả thiết ta có thể viết lại hệ thức đã cho dưới dạng tương đương sau:

$\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2yz\cos A - 2xz\cos B - 2xy\cos C = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}({\sin ^2}B + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B) + {y^2}({\sin ^2}A + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}A) + {z^2} - 2xy\cos (A + B) - 2yz\cos A\\ - 2xz\cos B = 0\\ \Leftrightarrow ({x^2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B + {y^2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}A + 2xy\cos A\cos B)\\ + ({x^2}{\sin ^2}B + {y^2}{\sin ^2}A - 2xy\sin A\sin B) + {z^2} - 2z(y\cos A + x\cos B) = 0\\ \Leftrightarrow {(x\cos B + y\cos A)^2} + {(x\sin B - {\rm{y}}\sin A)^2} + {z^2} - 2z(x\cos B + {\rm{y}}\sin A) = 0\\ \Leftrightarrow {(x\cos B + y\cos A - z)^2} + {(x\sin B - {\rm{y}}\sin A)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\cos B + y\cos A - z = 0(1)\\ x\sin B - {\rm{y}}\sin A = 0(2) \end{array} \right. \end{array}$
Từ

$(2$ ) có

$x = \frac{{{\rm{ys}}inA}}{{\sin B}}(3)$ ,thay vào (

$1$ ) có

$\begin{array}{l} \frac{{{\rm{y}}\sin A\cos B}}{{\sin A}} + y\cos A = z\\ \Rightarrow {\rm{y}}\sin (A + B) = z\sin B\\ \Rightarrow y = \frac{{z\sin B}}{{\sin C}}(4) \end{array}$
Từ

$(3)$ và (

$4$ ) suy ra

$x:y:z=sinA:sinB:sinC=a:b:c$
Suy ra

$dpcm$
Nhận xét:
Từ bài toán trên suy ra nhiều bài toán cụ thể sau:

$1$ .Cho tam giác

$ABC$ có

$\frac{{\cos A}}{4} + \frac{{\cos B}}{5} + \frac{{\cos C}}{6} = \frac{{77}}{{240}}$
CMR :

$tg\frac{A}{2}tg\frac{C}{2} = \frac{1}{3}$
Thật vậy,viết lại giả thiết dưới dạng

$\frac{{\cos A}}{4} + \frac{{\cos B}}{5} + \frac{{\cos C}}{6} = \frac{1}{2}(\frac{4}{{5.6}} + \frac{5}{{6.4}} + \frac{6}{{4.5}})$
Theo bài toán trên suy ra tam giác ABC đồng dạng với tam giác có

$3$ cạnh là

$4,5,6$
Tam giác này có

$3$ cạnh lập thành cấp số cộng suy ra ABC cũng có

$3$ cạnh lập thành cấp số cộng.Theo bài

$228$ suy ra