Bài 102519

Question

Cho tam giác $ABC$ và $x,y,z$ là độ dài $3$ cạnh của tam giác nào đó. Biết:
$\frac{{\cos A}}{x} + \frac{{\cos B}}{y} + \frac{{\cos C}}{z} = \frac{x}{{2yz}} + \frac{y}{{2zx}} + \frac{z}{{2xy}}$
CMR tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác có $3$ cạnh là $x,y,z$.

score 0 · Answer 1

Từ giả thiết ta có thể viết lại hệ thức đã cho dưới dạng tương đương sau:
$\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2yz\cos A - 2xz\cos B - 2xy\cos C = 0\\
\Leftrightarrow {x^2}({\sin ^2}B + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B) + {y^2}({\sin ^2}A + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}A) + {z^2} - 2xy\cos (A + B) - 2yz\cos A\\ - 2xz\cos B = 0\\
\Leftrightarrow ({x^2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}B + {y^2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}A + 2xy\cos A\cos B)\\ + ({x^2}{\sin ^2}B + {y^2}{\sin ^2}A - 2xy\sin A\sin B) + {z^2} - 2z(y\cos A + x\cos B) = 0\\
\Leftrightarrow {(x\cos B + y\cos A)^2} + {(x\sin B - {\rm{y}}\sin A)^2} + {z^2} - 2z(x\cos B + {\rm{y}}\sin A) = 0\\
\Leftrightarrow {(x\cos B + y\cos A - z)^2} + {(x\sin B - {\rm{y}}\sin A)^2} = 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x\cos B + y\cos A - z = 0(1)\\
x\sin B - {\rm{y}}\sin A = 0(2)
\end{array} \right.
\end{array}$
Từ $(2$) có $x = \frac{{{\rm{ys}}inA}}{{\sin B}}(3)$,thay vào ($1$) có
    $\begin{array}{l}
\frac{{{\rm{y}}\sin A\cos B}}{{\sin A}} + y\cos A = z\\
\Rightarrow {\rm{y}}\sin (A + B) = z\sin B\\
\Rightarrow y = \frac{{z\sin B}}{{\sin C}}(4)
\end{array}$
Từ $(3)$ và ($4$) suy ra $ x:y:z=sinA:sinB:sinC=a:b:c$
Suy ra $dpcm$
Nhận xét:
Từ bài toán trên suy ra nhiều bài toán cụ thể sau:
$1$.Cho tam giác $ABC$ có   $\frac{{\cos A}}{4} + \frac{{\cos B}}{5} + \frac{{\cos C}}{6} = \frac{{77}}{{240}}$
CMR : $tg\frac{A}{2}tg\frac{C}{2} = \frac{1}{3}$
Thật vậy,viết lại giả thiết dưới dạng
   $\frac{{\cos A}}{4} + \frac{{\cos B}}{5} + \frac{{\cos C}}{6} = \frac{1}{2}(\frac{4}{{5.6}} + \frac{5}{{6.4}} + \frac{6}{{4.5}})$
Theo bài toán trên suy ra tam giác ABC đồng dạng với tam giác có $3$ cạnh là $4,5,6$
Tam giác này có $3$ cạnh lập thành cấp số cộng suy ra ABC cũng có $3$ cạnh lập thành cấp số cộng.Theo bài $228$ suy ra $tg\frac{A}{2}tg\frac{C}{2} = \frac{1}{3}$
Đó là $dpcm$
2.Vẫn với giả thiết trên,CMR C=2A
Thật vậy ta có ABC đồng dạng với tam giác có 3 cạnh là 4,5,6
Do ${6^2} = 4(4 + 5)$ nên theo bài 222 ta có ${C_1} = 2{A_1}$ ,ở dây ${A_1}{B_1}{C_1}$ là tam giác có ${B_1}{C_1} = 4,{A_1}{C_1} = 5,{A_1}{B_1} = 6$
Vì thế suy ra $C=2A$ suy ra $dpcm$
Từ đó có thể xây dựng $1$ bài toán khó như sau:
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $\frac{{\cos A}}{4} + \frac{{\cos B}}{5} + \frac{{\cos C}}{6} = \frac{{77}}{{240}}$
CMR $tg\frac{A}{2}tg\frac{C}{2} = \frac{1}{3}$
Điều này được suy ra từ $2$ nhận xét trên

Bài 102519

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102519

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan