a) \(A(0)=4.3^{2}+32.0-36=0\) chia hết cho \(64\).
Giả
sử \(A(k)=4.3^{2k+2}+32k-36\) chia hết cho \(64\).
Khi
đó \(A(k+1)=4.3^{2k+4}+32(k+1)-36=4.3^{2}(3^{2k+2})+32k+32-36\)
\(=(4.3^{2k+2}+32k-36)+4.8.3^{2k+2}+32\)
\(=A(k)+32(3^{2k+2}+1)\)
Trong
đó \(A(k)\vdots 64; 32(3^{2k+2}+1) \vdots 64\) (\( \vdots\) là kí hiệu chia hết,
\(3^{2k+2}\) là số lẻ, \(3^{2k+2}+1\) là số chẵn, chia hết cho \(2\)).
Vậy
\(A(k+1) \vdots 64\).
b) Với \(n=1, B(1)=16-15-1=0 \vdots 225\).
Giả
sử \(B(k)=16^{k}-15k=1\) chia hết cho \(225\).
\(B(k+1)=16^{k+1}-15(k+1)-1=16.16^{k}-15k-16\)
\(=B(k)+15.16^{k}-15=B(k)+15(16^{k}-1)\).
Với
\(k>1. 16^{k}-1=(16-1)(16{k-1}+16^{k-2}+…+1) \vdots 15\)
Do
đó \(15(16^{k}-1) \vdots 225; B(k) \vdots 225\), nên \(B(k+1) \vdots 225\).
Mệnh
đề đúng với mọi \(n\in N\)*