Bài 103618

Question

Cho ba tia $Ox,Oy,Oz$ không đồng phẳng.
a. Đặt $\widehat{xOy}=\alpha, \widehat{yOz}=\beta ,\widehat{zOx}=\gamma$. Chứng minh rằng: $\cos \alpha+\cos\beta+\cos\gamma>\frac{-3}{2}$.
b. Gọi $Ox_1,Oy_1,Oz_1 $ lần lượt là các tia phân giác của các góc , $\widehat{xOy},\widehat{yOz},\widehat{zOx}$. Chứng minh rằng nếu $Ox_1, Oy_1$ vuông góc với nhau thì $Oz_1$ vuông góc với cả $Ox_1$ và $Oy_1$.

score 0 · Answer 1

Lấy các điểm $A,B,C$ lần lượt thuộc các tia $Ox,Oy,Oz$ sao cho:
                        $OA=OB=OC$.
Đặt $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$.
a. Từ điều kiện $Ox,Oy,Oz$ không đồng phẳng, suy ra:
    $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})^2>0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}^2+\overrightarrow{b}^2+\overrightarrow{c}^2+2(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\overrightarrow{a})>0$
    $\Leftrightarrow 3OA^2+2OA^2(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma )>0\\\Leftrightarrow OA^2(3+2( \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)) >0\\\Leftrightarrow 3+2(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)>0\\\Leftrightarrow \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma >\frac{-3}{2}$
b.Nhận xét rằng:
- Vectơ $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ có giá song song với $Ox_1$.
- Vectơ $(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ có giá song song với $Oy_1$.
- Vectơ $(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA})$ có giá song song với $Oz_1$.
Từ giả thiết $Ox_1$ và $Oy_1$ vuông góc với nhau , ta có:
    $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=0\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}^2=0$
Khi đó, ta lần lượt có:
$(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA}^2=0$.
$\Leftrightarrow Oz_1$ vuông góc với cả $Ox_1$.
    $(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}^2=0$.
    $\Leftrightarrow Oz_1$ vuông góc với cả $Oy_1$.

Bài 103618

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103618

1 Đáp án

Liên quan

VECTO TRONG KHÔNG GIAN, SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTO

Lý thuyết liên quan