Bài 103688

Question

Cho tam giác $ABC$ $\left( {\widehat A = 90^o} \right)$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Trên tia đối của các tia $BA, CA$ ta lấy các điểm $E, F$ sao cho : $BE = CF = BC$. Điểm $M$ là một điểm thuộc $\left( O \right)$. Chứng minh rằng: $MA + MB + MC \le EF$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/9/2012 9:59:14 AM

Chỉ cần giải bài toán trong trường hợp $M$ nằm trên cung $BC$ không chứa $A$. Theo định lí Ptôlêmê ta có:
    $MA.BC = MB.CA + MC.AB \Rightarrow MA = MB.\frac{{CA}}{{BC}} + MC.\frac{{AB}}{{BC}}$
    $\begin{array}{l}
\Rightarrow MA + MB + MC = MB\left( {1 + \frac{{CA}}{{BC}}} \right) + MC\left( {1 + \frac{{AB}}{{BC}}} \right)\\
= MB.\frac{{BC + CA}}{{BC}} + MC.\frac{{BC + AB}}{{BC}}\\
= MB.\frac{{CF + CA}}{{BC}} + MC.\frac{{BE + AB}}{{BC}}\\
= MB.\frac{{{\rm{AF}}}}{{BC}} + MC.\frac{{AE}}{{BC}}\\
= \frac{{MB}}{{BC}}.{\rm{AF}} + \frac{{MC}}{{BC}}.AE \underbrace{\le}_{\text{ BĐT Bunhiacopski} } \sqrt {\left( {\frac{{M{B^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{M{C^2}}}{{B{C^2}}}} \right)\left( {{\rm{A}}{{\rm{F}}^2} + A{E^2}} \right)} \\
= \sqrt {\frac{{M{B^2} + M{C^2}}}{{B{C^2}}}.\left( {{\rm{A}}{{\rm{F}}^2} + A{E^2}} \right)} = \sqrt {\frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}}.{\rm{E}}{{\rm{F}}^2}} \\
= \sqrt {{\rm{E}}{{\rm{F}}^2}} = {\rm{EF}}
\end{array}$
Vậy $MA + MB + MC \le {\rm{EF}}$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \frac{{\frac{{MB}}{{BC}}}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{\frac{{MC}}{{BC}}}}{{AE}} \Leftrightarrow \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{AE}}$
      $ \Leftrightarrow \Delta MBC \sim \Delta {\rm{AF}}E \Leftrightarrow \widehat {MBC} = \widehat {{\rm{AF}}E}$

Bài 103688

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103688

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan